Un quatrième segment, et beaucoup de triangles

Identification

Rallye: 26.F.15 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaine: GP
Familles:

• IF - Identifier des figures
• IF/INV - Dresser un inventaire
• IF/RC - Reconnaître et construire des figures élémentaires

Remarque et suggestion

Résumé

Chercher le plus grand nombre de triangles qu’il est possible de faire apparaître sur une figure en ne traçant qu’un seul segment de plus et trouver une méthode pour les désigner.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori

- Identifiez les triangles des trois premières figures pour comprendre que certains triangles se recouvrent partiellement. La détermination des triangles est élémentaire pour les deux premières figures. Elle est plus délicate pour les 5 triangles de la figure d’Anne : 3 « élémentaires » et 2 composés de 2 régions.

- Trouver quelques principes d’action permettant d’optimiser le nombre de triangles pour le 4e segment : couper tous les autres, placer son extrémité sur des intersections déjà existantes …

- Trouver une méthode fiable pour dénombrer et désigner les triangles.

- L’usage de couleurs ou de lettres est très difficile à gérer vu le nombre de triangles partiellement superposés. Une des méthodes les plus efficaces, qui exige cependant une très grande rigueur, est de désigner les régions du partage et de dresser l’inventaire des triangles formés d’une région, de deux régions, de trois régions, etc.

- Il est aussi envisageable de nommer les points d’intersection des segments de la figure par des lettres et de désigner les triangles par leurs trois sommets.

- On donne ici un exemple par désignation des régions de la figure d’Anne et trois exemples avec des dispositions différentes du quatrième segment :

Exemple 1 : le segment partage les régions b et e en b’, b’’, e’, e’’. On y distingue 11 triangles, dont 6 élémentaires : a, b’, b’’, c, d, e’’ ; 2 composés de deux régions : ab’’, b’d et 3 composés de trois régions ab’’b’, ab’’e’’, b’’b’d.

Exemple 2 : le segment partage les régions a, b et c. On y distingue 10 triangles, dont 4 élémentaires : a’, c’’, d, e’’ ; 4 composés de deux régions : a’a’’ (a), a’b’, c’c’’ (c), b’d ; 1 composé de trois régions b’’b’d ; 1 composé de quatre régions : a’a’’b’b’’.

Exemple 3 : le segment, diagonale du carré, partage les régions b, d et e. On y distingue 15 triangles, dont 5 élémentaires : a, b’, c, d’’, e’ ; 5 composés de deux régions : ab’’, b’’d’’, b’d’, d’d’’, d’’e’’ ; 2 composés de trois régions : ab’’b’, b’d’e’ ; 3 composés de quatre régions : ab’’d’’e’’, b’cd’e’, b’’b’d’’d’.

Il existe d’autres dispositions du 4e segment faisant apparaître de 6 à 14 triangles.

Notions mathématiques

segment, triangle, dénombrement, identification, polygone, intersection, figure élémentaire

Résultats

26.F.15

Points attribués, sur 102 classes de 18 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse maximale : 15 triangles, avec dessin du segment et désignation claire des 15 triangles
• 3 points: Réponse : 13 ou 14 triangles avec dessin du segment et désignation claire des triangles annoncés, sans « erreur »
  ou réponse maximale : 15 triangles, avec dessin du segment ou désignation confuse ou absente des 15 triangles
  ou le segment tracé correspondant à 15 triangles, mais seulement 13 ou14 triangles annoncés avec désignation claire
• 2 points: Réponse : 10 à 12 triangles avec dessin du segment et désignation claire des triangles, sans « erreurs »
• 1 point: Réponse : 7 à 9 triangles avec dessin du segment et désignation claire des triangles annoncés
• 0 point: Incompréhension du problème ou moins de 7 triangles

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