Banque de problèmes du RMT
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Déterminer le nombre de carreaux traversés par la diagonale d’un rectangle dessiné sur un quadrillage.
Analyse a priori:
- Observer les trois exemples et constater que, lorsque la diagonale passe par un nœud du quadrillage, deux carreaux de part et d’autre de ce nœud ne sont pas « traversés » et par conséquent restent blancs (figures de gauche et de droite), alors que si la diagonale traverse une ligne du quadrillage ailleurs que sur un nœud elle entre dans un nouveau carreau qui devra être grisé.
- Commencer à griser les carreaux du rectangle donné et s’apercevoir qu’il faut déterminer si les nœud (2 ; 5), (3 ; 8), (5 ; 13) et (6 ;16) sont ou non sur la diagonale.
- Établir que ces 4 nœud ne sont pas sur la diagonale en faisant un dessin plus grand et plus précis ou en observant que les rapports 8/21 ≅ 0,381 (dimensions du rectangle), 2/5 = 0,4 et 3/8 = 0,375 sont tous différents (en se référant à une similitude de rectangles, à la linéarité, à la proportionnalité, à la pente ...)
- Compter les carreaux un à un (chaque fois qu’une ligne du quadrillage est traversée, on entre dans un nouveau carreau) : il y en a 28. Dans le cas erroné où l’on considère que la droite passe par deux ou quatre nœud, le comptage des carreaux donne respectivement 26 ou 24 (on signale que dans un rectangle dont les dimensions sont deux entiers naturels a et b premiers entre eux, le nombre de carreaux traversés par la diagonale est égal à a + b -1, ce qui dans ce problème donne 8 + 21 - 1 =28).
- Pour la seconde question, constater que les nombres 21 et 9 ont 3 comme plus grand diviseur commun, que la diagonale passera par les nœuds (3 ; 7) et (6 ; 14)
et que le problème se ramène à celui de la diagonale qui traverse un rectangle de 3 × 7 carreaux identiques à celui ci, trois fois de suite. Dans ce cas là il y a 9 carreaux traversés par la diagonale sur chacun de ces rectangles, soit en tout :
3 × 9 = 27 carreaux.
rectangle, diagonale, diviseur
Points attribués, sur 51 classes de 8 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 3 (11%) | 2 (7%) | 15 (56%) | 1 (4%) | 6 (22%) | 27 | 2.19 |
| Cat 10 | 1 (4%) | 3 (13%) | 9 (38%) | 3 (13%) | 8 (33%) | 24 | 2.58 |
| Total | 4 (8%) | 5 (10%) | 24 (47%) | 4 (8%) | 14 (27%) | 51 | 2.37 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
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