Pliages

Identification

Rallye: 27.I.20 ; catégorie: 10 ; domaines: GP, GM
Familles:

• DEM - Effectuer une démonstration
• GDE - Organiser une suite de relations en géométrie déductive
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• TR - Construire, utiliser et/ou effectuer une transformation géométrique

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer à quelle distance de chacun des quatre côtés d’un rectangle se trouve le point d’intersection d’une diagonale et du segment qui joint un sommet et le milieu de la longueur opposée.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Comprendre que pour déterminer la distance de P aux côtés du rectangle il est nécessaire de tracer les perpendiculaires passant par P aux quatre côtés ; on obtient les segments PI, PH, PJ, PK dont il faut calculer la mesure de leurs longueurs.

- Constater que trois des distances à déterminer sont les hauteurs des triangles de sommet P qui ont comme bases AD, AB, BF, qui mesurent respectivement 24 cm, 18 cm et 12 cm.

- Identifier les triangles semblables, par exemple APD est semblable ou homothétique à BPF (leurs angles sont égaux) et le rapport d’homothétie est 2 car AD = 2 BF. En déduire que PK = 2PH = 2/3 HK = 12 cm et PH = 1/3 HK = 6 cm.

- Les triangles APB et FPE sont également semblables ou homothétiques et le rapport d’homothétie est 2 car AB = 2EF puisque EF est la moitié de LF. On en déduit que PJ = 2PI et PI = 1/3 IJ. Donc PI = 8 cm et PJ = 16 cm.

Ou

- Arriver aux conclusions précédentes en appliquant le théorème de Thalès, par exemple avec les parallèles AD et BC et les sécantes AF, BD et HK. Sachant que BF est la moitié de AD, on a PA/PF = PD/PB = PK/PH = AD/BF = 2, à partir de quoi on détermine PK et PH. Procéder de même avec les parallèles AB et LF et les sécantes AF, BE et IJ pour déterminer PI et PJ.

Ou :

- Continuer à travailler en pliant à l’aide d’une feuille de mêmes dimensions ou à l’échelle afin de trouver les relations entre les segments de la figure. Par exemple, en pliant la feuille le long du segment IJ, on découvre que le point M est le point médian entre A et I car, en pliant à nouveau sur M, le point B coïncide avec A. De même, en pliant le long du segment HK.

- Conclure que PH = 1/3 HK et PI = 1/3 IJ.

Notions mathématiques

distance, rectangle, diagonale, sommet, médiane, homothétie, rapport, Thalès, milieu, déduction, démonstration

Résultats

27.I.20

Points attribués sur 2192 classes de 8 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte et complète (la distance de P aux quatre côtés de la feuille sont 6, 12, 8, et 16, en centimètres, bien justifiée (reconnaissance des triangles semblables ou application du théorème de Thalès)
• 3 points: Réponse correcte, mais justification partielle (par exemple, déduction des rapports 1/3 et 2/3 avec une explication incomplète)
  ou un couple de distances correct, (6 et 12) ou (8 et 16) avec une procédure bien justifiée et l’autre couple de distances erroné à cause d’une erreur de calcul
  ou trois distances correctes bien justifiées et une oubliée
  ou seulement deux distances de P aux côtés non parallèles (une distance de chaque couple) bien justifiées
• 2 points: Réponse correcte et complète mais avec seulement une ébauche d’explication géométrique ou une explication perceptive (par exemple, il y a deux triangles dont l’un est le double de l’autre)
  ou seulement la distance de P à deux côtés parallèles de la feuille bien justifiée géométriquement
• 1 point: Réponse avec une seule distance calculée correctement et oublis ou erreurs pour les autres
  ou essais montrant que les distances cherchées ont été reconnues mais que les calculs n’ont pas abouti à des réponses correctes
• 0 point: Incompréhension du problème
  ou réponse correcte tirée d’une construction sur feuille quadrillée ou mesures sur un dessin à l’échelle (contrairement aux consignes), que le dessin soit joint ou pas

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