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Des triangles dans un polygone (I)

Identification

Rallye: 28.I.06 ; catégories: 4, 5, 6 ; domaine: GP
Familles:

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver cinq décompositions différentes en quatre triangles d’un heptagone concave dessiné sur quadrillage.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Comprendre que pour faire apparaitre des triangles, il faut relier des sommets de l’heptagone ou prolonger des côtés parmi [GA], [EF], [DE] ou [BA].

- Remarquer que G, A et D sont alignés et que B, E et F le sont aussi donc prolonger [GA] et prolonger [EF] produit des découpages analogues à respectivement tracer [AD] et tracer [BE].

Recherche par essais et ajustements :

- Tracer des segments reliant des sommets ou en prolongeant des côtés de la figure et conserver ceux qui permettent d’obtenir quatre triangles intérieurs à la figure.

- Faire plusieurs essais et les comparer à ceux déjà trouvés.

Recherche organisée :

- Avoir l’intuition qu’il est plus simple de partager un quadrilatère en triangles que de partager directement la figure qui est donnée.

- Rechercher toutes les façons de partager la figure en quadrilatères (il y en a deux).

- Pour chacun des deux cas :

partager chaque quadrilatère en deux triangles ;
chercher jusqu’à obtenir 5 partages différents de la figure donnée

Ci-dessous sont dessinées les 12 décompositions possibles de l’heptagone.

Notions mathématiques

polygone, quadrillage, décomposition, triangle, découpage, partage

Résultats

28.I.06

Points attribués sur 2468 classes de 15 sections:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 4	101 (15%)	79 (12%)	54 (8%)	96 (15%)	331 (50%)	661	2.72
Cat 5	44 (8%)	49 (9%)	27 (5%)	75 (13%)	376 (66%)	571	3.21
Cat 6	65 (5%)	65 (5%)	54 (4%)	153 (12%)	899 (73%)	1236	3.42
Total	210 (9%)	193 (8%)	135 (5%)	324 (13%)	1606 (65%)	2468	3.18
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: 5 découpages corrects différents, autres que l’exemple donné
3 points: 4 découpages corrects différents, autres que l’exemple donné, avec éventuellement un doublon ou un découpage erroné
2 points: 3 découpages corrects différents, autres que l’exemple donné, avec éventuellement des doublons ou découpages erronés
1 point: 1 ou 2 découpages corrects différents, autres que l’exemple donné, avec éventuellement des doublons ou découpages erronés
0 point: Incompréhension du problème : aucun découpage correct.

Banque de problèmes du RMT