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Des triangles dans un polygone (II)

Identification

Rallye: 28.I.14 ; catégories: 7, 8 ; domaine: GP
Familles:

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver huit décompositions différentes en quatre triangles d’un heptagone concave dessiné sur quadrillage.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Comprendre que pour faire apparaitre des triangles, il faut relier des sommets de l’heptagone ou prolonger des côtés parmi [GA], [EF], [DE] ou [BA].

- Remarquer que G, A et D sont alignés et que B, E et F le sont aussi donc prolonger [GA] et prolonger [EF] produit des découpages analogues à respectivement tracer [AD] et tracer [BE].

Recherche par essais et ajustements :

- Tracer des segments reliant des sommets ou en prolongeant des côtés de la figure et conserver ceux qui permettent d’obtenir quatre triangles intérieurs à la figure.

- Faire plusieurs essais et les comparer à ceux déjà trouvés.

Recherche organisée :

- Avoir l’intuition qu’il est plus simple de partager un quadrilatère en triangles que de partager directement la figure qui est donnée.

- Rechercher toutes les façons de partager la figure en quadrilatères (il y en a deux).

- Pour chacun des deux cas :

partager chaque quadrilatère en deux triangles ;
chercher différentes façons de partager les deux quadrilatères pour obtenir 8 partages différents de la figure donnée.

Ci-dessous sont dessinées les 12 décompositions possibles de l’heptagone.

Notions mathématiques

polygone, quadrillage, décomposition, triangle, découpage, partage

Résultats

28.I.14

Points attribués sur 1172 classes de 15 sections:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 7	71 (6%)	69 (6%)	77 (7%)	136 (12%)	787 (69%)	1140	3.31
Cat 8	31 (4%)	20 (3%)	32 (4%)	85 (11%)	608 (78%)	776	3.57
Total	102 (5%)	89 (5%)	109 (6%)	221 (12%)	1395 (73%)	1916	3.42
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: 8 découpages corrects différents
3 points: 7 découpages corrects différents avec éventuellement une erreur ou un doublon
ou 6 découpages corrects différents avec éventuellement des doublons, mais sans erreur
2 points: 6 découpages corrects différents avec une ou deux erreurs et éventuellement un doublon
ou 5 ou 4 découpages corrects différents avec au plus une erreur et éventuellement des doublons
1 point: 5 ou 4 découpages corrects différents avec 2 erreurs ou plus et éventuellement des doublons
ou de 1 à 3 découpages corrects différents avec éventuellement des doublons ou des erreurs
0 point: Incompréhension du problème: aucun découpage en 4 triangles

Banque de problèmes du RMT