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Rallye: 28.I.16 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: GP, FN
Famille:

• SN - Traiter une suite numérique

Remarque et suggestion

Résumé

Dans une progression géométrique de raison 1/2 partant de 60 000, déterminer le premier des termes qui est inférieur à 1, dans un contexte géométrique d’une suite de rectangles dont l’aire de chacun est la moitié de celle de du précédent.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Percevoir les régularités de la suite des dimensions des chutes : d’un rectangle au suivant, alternativement, une dimension est conservée alors que l’autre est la moitié de la précédente, (en partant de la première chute dont la longueur est la même que celle du panneau et la largeur est la moitié de celle du panneau).

On peut se représenter la situation mentalement et/ou avec un dessin des premières chutes disposées sur le panneau :

- Comprendre que l’aire de la première chute est la moitié de celle du panneau - ou 1/2 en écriture fractionnaire – et est égale à celle de la partie encore à recouvrir ; puis l’aire de la seconde chute est la moitié de celle de la première et ainsi de suite.

- Comprendre que l’aire de chaque chute ajoutée est la moitié de celle de la précédente et qu’elle est égale à celle de la partie encore à recouvrir. Puis comprendre que le recouvrement s’arrêtera quand la partie restant à recouvrir sera celle qui aura une aire de moins de 1 cm².

- Se rendre compte que pour effectuer les calculs, il serait opportun de transformer initialement les 6 m² de l’aire du panneau en 60 000 cm²

- On peut alors raisonner sur la partie à recouvrir à partir de 30 000 (correspondant à la première chute), diviser successivement par 2 les suivantes jusqu’à obtenir le premier nombre inférieur à 1, qui correspond à la 16e chute.

Ou

- Raisonner sur la partie déjà recouverte et additionner les aires des chutes ajoutées progressivement à partir de la première, d’aire 30 000 cm² : 30 000+15 000+7 500+3 750+1 875+937,5+468,75, … et comprendre qu’il manquera moins de 1 cm² quand la somme dépassera 59 999 et que le nombre de chutes est celui des termes de la somme. Avec le 16e terme (0,915527344…) on obtient :

30 000 + 15 000 + 7 500 + 3 750 + … + 0,915… = 59 999, 084…

Ainsi Aurore a besoin de 16 chutes pour qu’il reste moins de 1 cm² à recouvrir.

Notions mathématiques

suite, progression géométrique, approximation, limite, similitude, réduction, rectangle, longueur, côté

Résultats

28.I.16

Points attribués sur 793 classes de 13 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (Aurore a besoin de 16 chutes) avec des explications claires et complètes (par exemple par divisons successives par 2 : 60 000, 30 000, 15 000, jusqu’à 0.915… ou par sommes successives des aires des chutes comme dans l’exemple ci-dessus)
• 3 points: Réponse correcte avec des explications lacunaires (sans le détail des aires successives proches de 1 ou de 60 000) mais dont on comprend le raisonnement
  ou réponse « Aurore a besoin de 15 ou 17 chutes » suite à une erreur de dénombrement des chutes, mais avec des explications claires
• 2 points: Réponse correcte sans explication
  ou, un raisonnement bien expliqué, à partir d’un dessin ou d’une suite de calculs, mais qui n’aboutit pas à la réponse
  ou réponse cohérente mais erronée due par exemple à une erreur dans la transformation de m² en cm²
• 1 point: Début de recherche correct (par exemple, esquisse d’un dessin avec au moins quatre termes de la progression ou au moins quatre valeurs calculées à la calculatrice …)
• 0 point: Incompréhension du problème

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