Rettangoli di carta quadrettata (II)

Identificazione

Rally: 29.I.08 ; categorie: 5, 6 ; ambiti: GP, GM
Famiglie:

• CA - Confrontare aree
• LA - Utilizzare misure di lunghezze e aree
• LA/UA - Gestire unità d’area

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Sunto

Confrontare le aree di due rettangoli di carta quadrettata effettuando, per uno di essi, le necessarie approssimazioni.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Comprendere la situazione: i due rettangoli sono stati ritagliati da uno stesso rotolo perciò hanno la medesima quadrettatura, è necessario stabilire quale dei due rettangoli ha la superficie maggiore, ossia contiene un maggior numero di quadretti.

- Osservare i due rettangoli e rendersi conto che:

- nel rettangolo di Teresa si trovano sia quadretti interi sia parti (o “pezzi”) di quadretti (su due dei suoi bordi);

- nel rettangolo di Sebastiano si trovano solo quadretti interi.

- Contare i quadretti interi utilizzando la strategia ritenuta più conveniente, per esempio

- contare uno a uno tutti i quadretti, procedimento lungo e gravoso con alto rischio di errori di conteggio.

Oppure

- comprendere che tutte le righe (e tutte le colonne) hanno lo stesso numero di quadretti interi. Contare quindi i quadretti interi che si trovano su una riga ($26$ per il rettangolo di Teresa e $24$ per quello di Sebastiano) e su una colonna ($18$ per il rettangolo di Teresa e $20$ per quello di Sebastiano) e poi trovare il numero di tutti i quadretti interi moltiplicando i due numeri ottenuti per ciascuno dei due rettangoli $26 \times 18 = 468$ (Teresa) e $24 \times 20 = 480$ (Sebastiano) (oppure determinare il numero dei quadretti per addizioni ripetute del numero di quadretti sulle righe o sulle colonne).

- Constatare quindi che il rettangolo di Sebastiano ha $12$ quadretti interi in più di quello di Teresa e ricordarsi che però Teresa ha anche delle parti di quadretto, da aggiungere ai $468$ quadretti interi.

- Osservare che, nel rettangolo di Teresa, ci sono $26$ “pezzi” di quadretto nella riga superiore, $18$ nella colonna di sinistra e uno nell’angolo in alto a sinistra e cercare di metterli insieme per formare quadretti interi. Ad esempio ipotizzare che ogni parte di quadretto sia circa la metà di un quadretto, quindi in tutto più di $22$ quadretti interi che aggiunti ai $468$ interi fanno $490$ quadretti. Concludere che Teresa ha usato più carta di Sebastiano.

Oppure

- Ipotizzare che ogni parte sia circa un terzo di un quadretto intero quindi in tutto più di 14 quadretti; in questo caso nel rettangolo di Teresa ci sarebbero più di $482$ ($468 + 14$) quadretti. Anche con questa ipotesi Teresa ha utilizzato più carta. Anche una diversa ipotesi sul conteggio dei quadretti non interi (per esempio che siano diversi quelli della riga inferiore e della colonna di destra) dovrebbe portare alla stessa conclusione.

Oppure

- Ritagliare o disegnare i due rettangoli su un foglio quadrettato, in modo che corrispondano all’immagine dell’enunciato, misurare i loro lati e calcolare l’area.

Nozioni matematiche

area, rettangolo, quadrettatura, approssimazione, misura, lunghezza

Risultati

29.I.08

Punti attribuiti su 2039 classi di 19 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta “Teresa ha usato più carta” (o altra formulazione con lo stesso significato), con descrizione della procedura chiara e completa della strategia adottata o tutti i calcoli necessari
• 3 punti: Risposta corretta con descrizione della procedura poco chiara o mancante di qualche passaggio o calcolo
• 2 punti: Risposta corretta, ma con errori di conteggio e/o calcolo
  oppure risposta errata dovuta a errori di conteggio o calcolo, ma procedura corretta
• 1 punto: Risposta corretta senza spiegazioni
  oppure inizio di ricerca coerente, per esempio il solo conteggio dei quadretti interi
  oppure risposta “Sebastiano ha usato più carta” motivata dal fatto che sono stati contati solo i quadretti interi
• 0 punto: Incomprensione del problema (per esempio affermazioni che indicano confusione fra area e perimetro) oppure calcoli effettuati partendo da misure prese nell’immagine dell’enunciato

Bibliografia

Bisso C. Grugnetti L. Gruppo geometrie piana. **Geometria plane nell'ARMT / La géometrie plane dans l’ARMT** et Mecacci A. Allegato I **Analisi e considerazioni emerse dalla sperimentazione dei problemi “Rettangoli su carta quadrettata” e “Biscotti**. In Gazzzetta del Transalpino/ Gazette de Transalpie no 15 pp 141 - 155