I due quadrati

Identificazione

Rally: 29.I.18 ; categorie: 8, 9, 10 ; ambiti: GP,
Famiglie:

• CA - Confrontare aree
• DEM - Fare una dimostrazione
• GDE - Organizzare una successione di relazioni in geometria deduttiva
• TR - Costruire, utilizzare e/o effettuare una trasformazione geometrica

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Sunto

Giustificare che, facendo ruotare un quadrato intorno ad uno dei suoi vertici, situato al centro di un altro quadrato uguale, l’area dell’intersezione dei due quadrati è costante.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori:

- Immaginare la rotazione del secondo quadrato (o realizzarla con l’aiuto di uno dei quadrati ritagliati) e constatare che l’intersezione cambia forma, poi trovare che questa intersezione è un quadrilatero ma che può anche essere essa stessa un quadrato o ancora un triangolo.

- Confrontare le aree dei due casi particolari in cui l’intersezione è un quadrato e quella in cui l’intersezione è un triangolo e constatare che, in ciascuno dei due casi, l’area è un quarto del quadrato intero.

- Nel caso generale, (in cui si sia fatto ruotare il quadrato di un angolo qualunque, osservare l’intersezione e constatare che l’intersezione è sempre un quadrilatero in cui due angoli sono retti e due lati sono uguali (ottenuti con una rotazione di $90$ gradi intorno al centro di rotazione, AB e AC sulla figura qui a lato). Dedurne che i due triangoli rettangoli (AKB e AHC sulla figura) sono uguali, e anche le loro aree, e che il triangolo «ritagliato» su un lato dell’intersezione è compensato dal triangolo «aggiunto» dall’altra parte.

Oppure

- Misurare le dimensioni delle tre intersezioni (o scegliere misure ipotetiche) e calcolare le loro aree (per esempio come somma dell’area dei due triangoli AQC e AQB della figura a lato). Confrontare queste tre aree e trovare che esse sono uguali, (rendendosi conto che si tratta di approssimazioni).

Ci sono ancora altre partizioni del quadrilatero e ci sono altre partizioni dei quadrilateri intersezione o altri modi di convincersi che l’area dell’intersezione resta costante.

L’approccio della «dimostrazione» geometrica potrà essere oggetto delle indicazioni didattiche di questo problema in cui l’area dell’intersezione è costante qualunque sia il valore dell’angolo di rotazione.

Nozioni matematiche

quadrato, area, rotazione, deduzione, intersezione, quadrilatero, triangolo, angolo, dimostrazione

Risultati

29.I.18

Punti attribuiti su 752 classi di 21 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (l’area dell’intersezione è sempre la stessa) dichiarando che l’area è quella di un quarto del quadrato (uno dei casi particolari, oppure di un triangolo equivalente per l’altro caso particolare), e una giustificazione che parli della compensazione dei triangoli per il caso generale.
• 3 punti: Risposta corretta con spiegazione che l’area è sempre la stessa, ma giustificazione limitata ai tre esempi e non al caso generale, o aggiungendo “a partire dalle misure prese sulle figure”, e esplicitando che si tratta di approssimazioni “che si devono considerare come uguali”.
• 2 punti: Risposta sì, con spiegazione per uno soltanto dei casi particolari (e il caso generale non citato oppure considerato come evidente)
  oppure a partire dalle misure prese sulle figure senza citare le approssimazioni che si devono considerare come uguali.
• 1 punto: Risposta corretta senza spiegazioni
  oppure solo la constatazione dell’esistenza del caso particolare “quadrato” e/o “triangolo
  oppure risposta sbagliata (l’area cambia) a causa di misure sbagliate prese dalle figure
  oppure risposta sbagliata (l’area cambia) con una traccia di spiegazione che mostri l’inizio di una ricerca coerente ma con errori.
• 0 punto: Incomprensione del problema.