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Banca di problemi del RMTgp171-it |
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Dato un rettangolo di cui sono note le dimensioni, diviso in quattro triangoli rettangoli simili e congruenti due a due, disegnare un altro rettangolo con dimensioni diverse da quello dato, ma formato dagli stessi quattro triangoli e determinare il valore del suo perimetro.
Extratti dall'analisi a priori del compito
Osservare che il rettangolo è diviso dalla sua diagonale in due triangoli rettangoli congruenti, questi sono a loro volta divisi dall’altezza relativa all’ipotenusa in due triangoli rettangoli formando così due coppie di triangoli rettangoli congruenti. Spostando o ruotando i triangoli del puzzle, formare un nuovo rettangolo:
oppure altri ottenuti per simmetria assiale rispetto ai lati di questo rettangolo.
Per trovare il suo perimetro, ci sono due strategie molto diverse: attraverso misure approssimative su un disegno preciso o calcoli esatti effettuati applicando proprietà geometriche.
- Osservare che la lunghezza del nuovo rettangolo è uguale a quella della diagonale del rettangolo dato e che la sua larghezza è uguale alla lunghezza comune dei lati dei triangoli piccoli. Con un disegno: riprodurre precisamente su un foglio di carta il disegno del puzzle dato con l’aiuto di un doppio decimetro e di una squadra e misurare le lunghezze dei lati degli angoli retti dei triangoli rettangoli.
- Trovare al meglio 5,4 cm e 7,2 cm per il piccolo e 7,2 cm e 9,6 cm per il grande.
- Dedurne il perimetro di questo nuovo rettangolo: 2 × (7,2 + 15) = 44,4 cm.
- Osservare che i due rettangoli pur avendo la stessa area hanno perimetri differenti (42 cm e 44,4 cm).
Oppure con un calcolo: comprendere che occorre conoscere le lunghezze dei cateti dei triangoli rettangoli.
- Osservare che la diagonale (AC) divide il triangolo in due triangoli rettangoli uguali e che le altezze (DF) e (BH) formano quattro triangoli rettangoli, uguali a due a due.
- Comprendere che occorre prima calcolare la lunghezza AC della diagonale.
- Utilizzare il Teorema di Pitagora: AC2 = AB2 + BC2 = 122 + 92 = 144 + 81 = 225. Da cui AC = 15 cm.
Per trovare la lunghezza DF, si può osservare che il rettangolo ABCD ha area doppia di quella del triangolo ADC e calcolarla in due modi differenti: è la metà di quella del rettangolo ABCD, è anche il prodotto della sua base AC per la sua altezza DF.
- Così, 2 × Area (ADC) = AD × DC = AC × DF.
- Dedurne questa proprietà notevole dell’altezza tracciata dall’angolo retto in un triangolo rettangolo: la sua lunghezza è uguale al prodotto delle lunghezze dei lati dell’angolo retto diviso per quella dell’ipotenusa: DF = (AD ×DC) / AC.
- Calcolare la lunghezza DF: DF = (12 × 9) / 15 = 7,2 cm.
poligono, rettangolo, diagonale, isometria, perimetro, Pitagora, triangolo rettangolo, area, altezza, similitudine
Punteggi attribuiti su 121 classi de 21 sezioni:
Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
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Cat 7 | 18 (33%) | 10 (18%) | 7 (13%) | 11 (20%) | 9 (16%) | 55 | 1.69 |
Cat 8 | 24 (36%) | 12 (18%) | 9 (14%) | 6 (9%) | 15 (23%) | 66 | 1.64 |
Totale | 42 (35%) | 22 (18%) | 16 (13%) | 17 (14%) | 24 (20%) | 121 | 1.66 |
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. |
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