Le puzzle (II)

Identification

Rallye: 29.F.21 ; catégories: 9, 10 ; domaines: GP, GM
Familles:

• DEC - Découper et/ou assembler des figures
• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions

Remarque et suggestion

Résumé

Construire deux rectangles différents en utilisant pour chacun quatre triangles rectangles semblables, égaux deux à deux, le grand côté de l’angle droit du petit triangle étant égal au petit côté de l’angle droit du grand triangle, et calculer leurs périmètres connaissant les mesures des hypoténuses.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Extraits de l’analyse de la tâche a priori

Comprendre les caractéristiques des triangles rectangles donnés et comprendre que deux rectangles de périmètres différents doivent être formés avec ces triangles, en les utilisant tous à chaque fois.

Se souvenir que dans un triangle rectangle les angles aigus sont complémentaires. Considérer qu’un rectangle est un quadrilatère avec quatre angles droits qui peuvent être soit ceux des triangles donnés soit ceux obtenus par la somme des deux angles complémentaires.

Essayer de construire les deux rectangles (avec un dessin ou un découpage). Il y a deux façons de procéder.

- Coller les hypoténuses des deux petits triangles et des deux grands triangles pour former deux rectangles. Observer que ces deux rectangles ont un côté de même longueur, les assembler le long de ce côté et obtenir un seul "grand" rectangle (comme celui de la Fig.1 ou de la Fig.2 ou d’autres obtenus par symétrie axiale par rapport aux côtés de ce rectangle)

- Coller un petit triangle et un grand en faisant correspondre les côtés égaux. Remarquer qu’avec les quatre pièces on obtient deux triangles rectangles car les deux angles qui sont assemblés sont complémentaires. Les côtés des triangles rectangles obtenus sont les hypoténuses des triangles donnés.

- Enfin, juxtaposer les hypoténuses de ces deux triangles et obtenir un autre rectangle comme indiqué sur la figure 3.

- Ensuite, procéder au calcul des périmètres.

- Dans le rectangle de la Fig.1 le grand côté est l'hypoténuse du triangle rectangle obtenu en plaçant un petit et un grand triangle côte à côte et le petit côté est la hauteur relative à l’hypoténuse de ce triangle. Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de l’hypoténuse : 122 + 92 = 144 + 81 = 225 et constater qu’elle mesure 15 cm. Pour déterminer la longueur de l’autre côté du rectangle (qui est aussi la hauteur relative à l’hypoténuse), calculer le double de l’aire du triangle rectangle (petit côté multiplié par grand côté) et diviser par l’hypoténuse : 12 cm × 9 cm : 15 cm = 7,2 cm. Calculer le périmètre du rectangle : 2 × (15 m + 7,2 cm) = 44,4 cm.

- Dans le rectangle de la Fig.2 il faut se souvenir que tous les triangles sont semblables et, en particulier, que le rapport entre le petit et le grand est de 9/12 = 3/4. Appeler x la mesure du grand côté du petit triangle, égal aussi à la mesure du petit côté du grand triangle, la mesure du grand côté du grand triangle est donnée par : √(12² - x²). Pour trouver la valeur de x, utiliser la proportion : 9 : 12 = x : √(12² -x²) soit 12x = 9√(144 - x²), x = 3/4√(144)-x², x²=9/16(144-x²), soit : 25x²=1296 et x= 7,2. Ensuite appliquer le théorème de Pythagore pour trouver les longueurs des deux côtés qui forment le côté le plus long du rectangle et obtenir 15 (= 5,4 + 9,6).

- Dans le rectangle de la Fig.3, observer que ses côtés sont précisément les hypoténuses des triangles rectangles donnés et donc le périmètre est : 2 × (12 + 9) = 42 cm.

Notions mathématiques

polygones, rectangle, diagonale, isométrie, périmètre, Pythagore, triangle rectangle, aire, hauteur, similitude

Résultats

29.F.21

Points attribués sur 121 classes de 9 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte « 42 cm et 44,4 cm » avec des explications claires et complètes de la procédure utilisée (dessin des deux rectangles avec la disposition correcte des triangles rectangles et détail du calcul des périmètres)
• 3 points: Réponse correcte avec des explications partielles ou peu claires (par exemple calculs mal expliqués ou pas tous expliqués ou dessin incomplet dans lequel on ne voit pas clairement comment les triangles rectangles sont disposés)
  ou réponse fausse en raison d’une erreur de calcul mais dessin clair des deux rectangles et de leurs composants et procédure correcte
• 2 points: Réponse correcte sans explication
  ou construction d’un seul rectangle et détermination correcte de son périmètre avec le détail des calculs
• 1 point: Début d’une recherche cohérente avec la construction d’un rectangle
  ou réponse 42 cm sans aucune explication
• 0 point: Incompréhension du problème

(c) ARMT, 2021-2024