Banca di problemi del RMT
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Costruire due rettangoli diversi utilizzando per ciascuno di essi quattro triangoli rettangoli simili, congruenti due a due, con il cateto maggiore del triangolo più piccolo uguale al cateto minore del triangolo più grande e calcolarne i perimetri conoscendo le misure delle ipotenuse.
Extratti dall'analisi a priori del compito
Comprendere le caratteristiche dei triangoli rettangoli dati e che con essi si devono formare due rettangoli con perimetro diverso, utilizzandoli ogni volta tutti. Ricordare che in un triangolo rettangolo gli angoli acuti sono complementari.
Considerare che un rettangolo è un quadrilatero con quattro angoli retti che potranno essere o quelli dei triangoli dati o quelli ottenuti come somma di due angoli complementari.
Provare a costruire i due rettangoli (con il disegno o con il ritaglio). Si può procedere in due modi.
- Accostare lungo le ipotenuse i due triangoli piccoli e i due triangoli grandi formando due rettangoli. Osservare che questi due rettangoli hanno un lato della stessa lunghezza, accostarli lungo tale lato ed ottenere un unico rettangolo “grande” (come quello in figura 1 o figura 2 oppure altri ottenuti per simmetria assiale rispetto ai lati di questo rettangolo)
- Accostare un triangolo piccolo ad uno grande facendo combaciare i cateti congruenti. Osservare che con i quattro pezzi si ottengono così due triangoli rettangoli perché i due angoli che vengono accostati sono complementari. I cateti dei triangoli rettangoli ottenuti sono le ipotenuse dei triangoli dati.
- Accostare infine questi due triangoli lungo le ipotenuse ed ottenere l’altro rettangolo come mostrato in figura 3.
Passare quindi a calcolare i perimetri.
- Nel rettangolo di figura 1 il lato maggiore è l’ipotenusa del triangolo rettangolo ottenuto accostando un triangolo piccolo e uno grande e il lato minore è l’altezza relativa all’ipotenusa di questo triangolo. Utilizzare il Teorema di Pitagora per determinare l’ipotenusa: 122 + 92 = 144 + 81 = 225 e quindi trovare che misura 15 cm. Per determinare la misura dell’altro lato del rettangolo (anche altezza relativa all’ipotenusa) calcolare la doppia area del triangolo rettangolo (cateto per cateto) e dividere per l’ipotenusa: 12 × 9 ÷ 15 = 7,2. Calcolare il perimetro del rettangolo: 2 × (15 + 7,2) = 44,4 in cm.
- Nel rettangolo di figura 2 occorre ricordare che tutti i triangoli sono simili e, in particolare, che il rapporto di similitudine tra il piccolo e il grande è 9/12 = 3/4. Indicata con x la misura del cateto maggiore del triangolo piccolo, uguale al cateto minore del triangolo grande, il cateto maggiore del triangolo grande è dato da: √(122 - x2). Per trovare il valore di x impostare quindi la proporzione: 9 : 12 = x : √(122 -x2) e x = 3/4√(144)-x2, x2=9/16(144-x2), cioè : 25x2=1296 x= 7,2. Applicare poi il Teorema di Pitagora per trovare i due cateti che formano il lato maggiore del rettangolo e ottenere 15 (= 5,4 + 9,6).
- Nel rettangolo di figura 3, osservare che i suoi lati sono proprio le ipotenuse dei triangoli rettangoli dati e quindi il perimetro è 2 × (12 + 9) = 42 in cm.
poligono, rettangolo, diagonale, isometria, perimetro, Pitagora, triangolo rettangolo, area, altezza, similitudine
Punteggi attribuiti su 37 classi di 9 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 5 (25%) | 4 (20%) | 4 (20%) | 1 (5%) | 6 (30%) | 20 | 1.95 |
| Cat 10 | 3 (18%) | 5 (29%) | 5 (29%) | 0 (0%) | 4 (24%) | 17 | 1.82 |
| Totale | 8 (22%) | 9 (24%) | 9 (24%) | 1 (3%) | 10 (27%) | 37 | 1.89 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
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