Banca di problemi del RMT
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Prendere coscienza del fatto che ciascun allievo ha scelto un diverso rettangolo e che la sua affermazione deve quindi essere verificata per ogni rettangolo. Il compito di appropriazione non consiste solamente nel leggere le diverse proposte degli allievi, ma soprattutto nel rendersi conto che non sono date le dimensioni dei rettangoli. Ciò che dice l’insegnante “Disegnate un primo rettangolo” significa non solo che sono gli allievi che devono scegliere delle dimensioni, ma anche che la costruzione del secondo dovrà essere valida per qualunque rettangolo scelto.
Rendersi conto che tutte le modifiche proposte dagli allievi agiscono su una o entrambe le dimensioni del primo rettangolo, con variazioni da una proposta all’altra secondo la maniera di formulare le trasformazioni (raddoppiare, aumentare di…) che determinano un secondo rettangolo.
Capire che, per ciascun allievo, occorre verificare con il calcolo se l’area del secondo rettangolo è il doppio di quella del primo rettangolo.
Ci sono più procedure di risoluzion :
- Partire da un caso particolare di dimensioni del primo rettangolo, calcolare la sua area, determinare le dimensioni del secondo (utilizzando correttamente le espressioni “raddoppiare”, “aumentare della metà”, “aumentare del 20%” … e trasformandole in convenienti moltiplicazioni o proporzioni), poi calcolare la sua area e verificare se è proprio il doppio di quella del primo. In caso affermativo, verificare con qualche altro esempio e ipotizzare che “funziona sempre”. In caso contrario, il caso particolare o controesempio è sufficiente.
- Nel linguaggio e con operazioni del “matematico”, valevoli “per tutti i rettangoli” - di dimensioni a e b et di area ab, le risposte sono:
per A : no perché 2a x 2b = 4ab diverso di 2ab
per B : sì perché 2a x b = 2ab
per C : no perché 1,5a x 1,5b = 2,25ab diverso di 2ab
pour D : sì perché 3/2a x 4/3b = 2ab
pour E : no perché 1,2a x 1,8b = 2,16ab diverso di 2ab
pour F : sì perché 0.8a x 2,5b = 2ab
rettangolo, perimetro, longezza, altezza, area
Punteggi attribuiti su 1100 classi di 20 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 154 (22%) | 231 (32%) | 178 (25%) | 98 (14%) | 55 (8%) | 716 | 1.54 |
| Cat 9 | 30 (15%) | 49 (25%) | 27 (14%) | 39 (20%) | 55 (28%) | 200 | 2.2 |
| Cat 10 | 27 (15%) | 32 (17%) | 41 (22%) | 34 (18%) | 50 (27%) | 184 | 2.26 |
| Totale | 211 (19%) | 312 (28%) | 246 (22%) | 171 (16%) | 160 (15%) | 1100 | 1.78 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Il faut lire attentivement ces critères pour noter que les "4 points" et "3 points" sont attribués aux six réponses correctes et que, par conséquent une moyenne de 1,5 qui peut sembler faible ne signifie pas un échec total mais des réussites partielles de une à cinq réponses correctes.
Presque toutes les copies montrent une bonne appropriation du problème à quelques exceptions près, comme la suivante, qui se réfère aux triangles plutôt qu’aux rectangles pour qui le mot « dimension » semble se rapporter à l’aire.
La procédure la plus utilisée est la première de celles décrites dans la rubrique Analyse de la tâche : choisir un rectangle en donnant des valeurs simples de ses dimensions et le conserver comme référence pour contrôler les réponses données individuellement pour chacun des six élèves de l’énoncé.
Par exemple: Nous avons dessiné un rectangle avec des mesures aléatoires (5 x 10) et calculé sa surface.
Par la suite, en prenant les mesures du rectangle, nous les avons modifiées selon les théories des élèves.
La première, Anne, a tort en ce sens qu'en doublant les deux côtés, la surface est quatre fois plus grande.
La seconde a raison comme…
La deuxième procédure est en général combinée avec la première, par l'adjonction de rectangles dessinés.
Les cas d'Anne et de Berthe se sont avérés les plus faciles. En ce qui concerne Daniel, la difficulté s'est avérée être liée à la non-acceptation d'une valeur approximative (il est intéressant de noter qu'il y a eu un cas où l'on a compris que le groupe n'arrivait pas à "se décider").
Le cas de Fabio est celui qui, lorsqu'il a été abordé, a fait apparaître le plus de difficultés, à propos des pourcentages et la "diminution" est parfois devenue une "augmentation".
La procédure algébrique a été observée dans environ un tiers des copies de catégories 9 et 10, et plus rarement en catégorie 8.
Cette "double" proportionnalité se traduit par des expressions du genre "si je double la longueur d'un des côtés, l'aire double aussi mais si je double la longueur de chacun des côtés, l'aire quadruple". Et dans le cas général, si le facteur de similitude est k les deux dimensions a et b deviennent ka et kb mais l'aire ab devient k2ab.
On se retrouve ici dans la problématique du "conflit aire / périmètre" ou "figure de dimension 1 (D1) / figure de dimension 2 (D2)" que l'élève rencontre lorsqu'il observe des figures géométriques. Les obstacles de ces situations ne sont souvent surmontés qu'à la fin de la scolarité obligatoire.
Une autre exploitation du problème concerne la passage d'expressions contenant les mots "augmentation" ou "diminution" combinées avec des écritures fractionnaires, décimales ou en pourcentages qui doivent être traduites en opérations multiplicatives.
De nombreux élèves ont encore de la peine, dans ce problème et de nombreux autres, à traduire, par exemple: j’ai augmenté l’autre de sa moitié par une multiplication par 3/2 ou par 1,5 ou, autre exemple j’ai diminué une dimension de 20 % et j’ai augmenté l’autre de 150 % par une multiplication par 0,8 et une autre multiplication par 2,5 ou par 5/2".
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