Le partage du rectangle

Identification

Rallye: 30.I.18 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: GP, GM
Familles:

• DEC - Découper et/ou assembler des figures
• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres
• RP - Traiter une relation de proportionnalité
• RP/CP - Faire une comparaison sur la base d'une relation de proportionnalité

Remarque et suggestion

Résumé

Un rectangle de 5 m sur 3 m est partagé en quatre triangles équivalents par trois segments issus d’un de ses sommets, on demande de trouver le plus long périmètre de ces triangles et de le calculer.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- La première tâche consiste à imaginer ou dessiner le rectangle (qui n'en est pas un sur la figure de l'énoncé) et comprendre que l’information « quatre triangles ayant la même aire » est essentielle pour positionner correctement les extrémités des segments qui divisent le rectangle.

- Une première déduction doit permettre de s'assurer qu'un des segments issu du sommet supérieur gauche du rectangle est La diagonale qui partage le rectangle en deux paires de triangles équivalents: (R ; B) et (J; V).

- Une deuxième déduction (qui constitue la clé du problème) permet de dire que, puisque R et B ont la même aire et la même "hauteur" (mesurée parallèlement au mât du drapeau), ils doivent avoir des "bases" isométriques (de 2,5 m). De même les deux "bases" des triangles J et V sont isométriques (de 1,5 m). Le premier savoir mobilisé est ici la formule de l'aire d'un triangle.

- À ce moment de la résolution, on sait que R est un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 3 et 2,5 m, qu'on pourra calculer la longueur de son hypoténuse par la relation de Pythagore, de même pour le triangle V dont les côtés de l'angle droit mesurent 5 et 1,5 m et dont la longueur de l'hypoténuse est (par calcul mental) plus longue de celle de R. On peut déjà en déduire que le triangle J aura le périmètre le plus long.

- Comme la question du problème demande de calculer le périmètre de J, le deuxième savoir à mobiliser est la relation de Pythagore.

triangle R : 3 + 2,5 + √15,25 ≈ 9,405

triangle B : √15,25 + 2,5 + √34 ≈ 12,236

triangle J : √34 + 1,5 + √27,25 ≈ 12,551

triangle V : √27,25 + 1,5 + 5 ≈ 11,720

Ces calculs permettent de confirmer que le triangle J a le périmètre le plus long: ≈ 12,551

Le savoir "le périmètre d'un triangle est la somme des trois mesures de ses côtés" n'est pas signalé ici car considéré comme évident, mais il y a d'autres savoirs qu'il faut maîtriser pour obtenir une réponse correcte: ils concernent l'approximation des mesures qui ne sont pas toutes des nombres entier, décimaux ou rationnels; la relation entre l'opération "élever un nombre au carré" et "extraire la racine carrée d'un nombre", les règles d'écriture mathématiques"

Notions mathématiques

rectangle, périmètre, longueur, hauteur, aire, Pythagore

Résultats

30.I.18

Points attribués sur 1101 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte et complète (triangle J, périmètre 12,551 m ou 12,55 m ou (√34+1,5+√109/2)m) avec calculs et avec justification des dimensions 2,5 m et 1,5 m
• 3 points: Réponse correcte et complète, mais non complètement justifiée (par exemple sans la justification des mesures 2,5 m et 1,5 m)
  ou réponse seulement partiellement correcte, à cause d’une erreur de calcul, mais bien justifiée
• 2 points: Réponse seulement partiellement correcte, à cause d’une erreur de calcul
• 1 point: Début de raisonnement correct
• 0 point: Incompréhension du problème

Bibliographie

**Il difficile cammino dei problemi di "geometria piana" Le chemin difficile des problèmes de "géométrie plane". §3. “La divisione del rettangolo”/ “Le partage du rectangle”.**

Roberto Battisti, Brunella Brogi, Fabio Brunelli, Federica Curreli, Speranza Dettori, Florence Falguères, Lucia Grugnetti, François Jaquet, Luciana Rapposelli, Elsa Renna, Patrizia Sabatini, M. Agostina Satta, Cinzia Utzeri, Vincenza Vannucci. Gruppo geometria per i grandi. In La Gazzetta di Trasalpino / La Gazette de Transalpie no 13 pp.125-143

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