Banque de problèmes du RMT
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Rechercher toutes les figures ayant au moins un axe de symétrie en assemblant 3 ou 4 pièces, parmi deux carrés et deux triangles équilatéraux dont la longueur des côtés est la même. Les pièces doivent se toucher par un côté commun complet.
- Les savoirs exigés sont la reconnaissance des carrés et des triangles, les notions de côté commun et de symétrie axiale, les règles de construction des figure (ou de découpage, manipulation et collage), la reconnaissance de figures isométriques (puisqu'il est sous-entendu que les figures doivent être différentes)
La tâche consiste à organiser progressivement la recherche:
- trouver un assemblage de 3 ou 4 pièces données correspondant aux règles d'ajustement, le dessiner ou le construire par découpage et collage, vérifier qu'on peut le plier en deux parties qui se recouvrent exactement (présence d'un axe de symétrie au moins),
- trouver un nouvel assemblage et vérifier qu'il est différent du premier,
- ainsi de suite, dresser l'inventaire. exhaustif, des figures possibles (sans doublons ni oublis).
Voci les quatre figures composées de 3 pièces et les 5 figures composées des quatre pièves:
carré, triangle équilatéral, côté, symétrie axiale, axe de symétrie, pliage, inventaire
Points attribués, sur 2313 classes de 20 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 326 (50%) | 257 (39%) | 55 (8%) | 8 (1%) | 7 (1%) | 653 | 0.64 |
| Cat 4 | 291 (38%) | 348 (45%) | 103 (13%) | 20 (3%) | 8 (1%) | 770 | 0.84 |
| Cat 5 | 292 (33%) | 400 (45%) | 128 (14%) | 44 (5%) | 26 (3%) | 890 | 1 |
| Total | 909 (39%) | 1005 (43%) | 286 (12%) | 72 (3%) | 41 (2%) | 2313 | 0.85 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Le tableau des résultats montre l'inadéquation totale entre la demande d'inventaire complet des neuf figures et / ou les critères d'attribution des points.
Les règles de construction sont en général respectées (juxtapositions par côtés entiers, non superposition).
En cat. 3 et 4 le dessin des figures comprenant des triangles équilatéraux - très souvent confondus avec des demi-carrés - est une tâche prématurée (sauf dans les cas de collages ou d’utilisation de modèles).
Mais c'est avant tout la reconnaissance des symétries qui est ignorée par les élèves de ces catégories (dans les conditions d'un concours, de durée limitée et sans matériel à disposition pour effectuer les collages et les pliages). L'analyse de 200 figures produites par les copies d'une section a montré que seul l'hexagone composé d'un carré central et de deux triangles sur deux côtés opposés (troisième figure de la première ligne ci-dessus) et les deux figures composées de deux carrés juxtaposés et deux triangles opposés ou contigus (première et cinquième figures de la deuxième ligne) apparaissent avec une fréquence de 20 à 30%; la fréquence de découverte des six autres figures est au-dessous de 10 %.
Même si cette recherche d'assemblages de carrés et rectangles ne peut pas être conçue comme un "problème" (de concours ou de contrôle), à résoudre dans un temps limité, elle peut être largement exploités au profit d'apprentissages essentiels. Avec une réserve de carrés et de triangles équilatéraux, tous de côtés isométriques, on peut procéder par collage pour déterminer, selon les règles d'assemblage du problème :
- combien de figures sont composées de 2 triangles, 2 carrés, un triangle et un carré ?
- combien de figures sont composées de trois des quatre pièces? des quatre pièces?
- puis on peut passer à la la découverte des figures qui ont un axe de symétrie (celles que l'on peut plier en deux parties superposables ou que l'on peut reconnaître en les observant dans un miroir vertical placé sur l'axe);
- il faut ensuite passer à la construction effective de ces figures avec la règle, l'équerre et le compas;
- il faut aussi décrire les propriétés de chacune de ces figures: nom, nombre de côtés, périmètre, aire, convexe ou concave ...
- il faut aussi s'assurer que toutes les figures - différentes - ont été trouvées et trouver une méthode pour en dresser l'inventaire exhaustif.
Il s'agit d'une activité de longue durée, dans le cadre d'une "géométrie expérimentale" pour des élèves de catégorie 3 à 5, mais aussi pour des élèves plus âgée, voire des adultes.
Voir rubrique suivante Pour aller plus loin
La recherche précédente n'est pas limitée au cas de deux triangles et deux carrés. D'innombrables développements sont possibles, avec, en plus de l'examen des propriétés géométriques des figures, la recherche de méthodes de détermination du nombre de figure différentes pour arriver à l'exhaustivité de l'inventaire.
1. Avec des carrés seulement
La recherche du domino, des 2 triminos, des 5 tétraminos, des 12 pentominos, des 26 hexaminos
2. Avec deux triangles équilatéraux seulement
Comme précédemment, il y a des figures composées de 2 triangles équilatéraux, 3 (tritriangles), 4 (tétratriangles), 5 (pentatriangles) ...
4. Miss Troispointes (10.II.10)
Cette activité propose des constructions de figures composées de triangle rectangles isocèles.
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