Points cachés

Identification

Rallye: 31.II.06 ; catégories: 4, 5 ; domaines: GP, GM
Familles:

• AL - Traiter des alignements d'objets
• AL/DEN - Dénombrer
• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires

Remarque et suggestion

Résumé

Un réseau quadrillé de points blancs (7 x 12) est inséré dans un réseau quadrillé de points noirs (6 x 11). Les deux réseaux sont masqués partiellement par un rectangle blanc qui ne laisse apparaître qu'une partie des points. Calculer le nombre de points masqués.

Enoncé

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Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Percevoir les deux réseaux de points décalés et leurs alignements.

Les connaissances en jeu sont la reconnaissance des alignements des points selon des droites parallèles, le dessin des droites et points et le comptage un à un des points de chaque réseau, l’addition répétée ou la multiplication pour déterminer le nombre total des points, la soustraction.

- Une procédure est de compléter les deux réseaux de points du rectangle gris, en les dessinant sur la feuille blanche (qui exige, pour être efficace, beaucoup de précision et un dessin avec l’aide d’une règle pour les alignements).

- Une autre procédure consiste à calculer le nombre total des deux réseaux de points par multiplication, compter les points visibles et trouver le nombre de points cachés par soustraction des points visibles : il y a 84 points blancs (7 × 12) 66 noirs (6 × 11) ; 150 au total. Les points visibles sont 61 (38 + 23). Il y a donc 89 points caché (150 – 61).

Notions mathématiques

comptage, droite, alignement, quadrillage, multiplication, soustraction

Résultats

Points attribués, sur 929 classes de 6 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte « 89 points cachés », avec description de la procédure (dessin des points ou détail des opérations)
• 3 points: Réponse correcte avec description partielle ou peu claire
  ou une erreur de comptage de 1 ou 2 points en plus ou en moins en cas de dessin
  ou une erreur de comptage des lignes ou colonnes en cas
de calcul
• 2 points: Réponse correcte, sans aucune description
  ou erreur de comptage ou de calcul, de 3 à 5 points
• 1 point: Début de recherche
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Les copies observées (environ 200 de la section de SI) ne font apparaître que les deux procédures mentionnées dans la tâche de résolution : d'une part le dessin des points cachés et/ou leur comptage ligne par ligne, d'autre part le calcul du nombre total des points de la feuille grise par multiplication et addition suivi de la soustraction du nombre des points visibles.

Malgré la simplicité du choix des procédures, ce sont les erreurs qui sont révélatrices des obstacles rencontrés car seulement 20 % des copies donnent la réponse exacte « 89 points cachés » et environ 15 % de réponses avec 87, 88, 90 ou 91 points cachés.

Pour les procédures par dessin des points cachés ce sont les droites des deux réseaux qui montrent le niveau de construction des savoirs en jeu. Certaines copies témoignent d’une perception des deux réseaux et de leurs alignements horizontaux et verticaux. (exemples 1, 2 et 3 partiellement).

Puis, sans une perception claire des droites, le comptage devient aléatoire (Exemple 4).

Pour certaines copies ce ne sont que les alignements verticaux ou horizontaux qui sont perçus, qu’ils soient dessinés ou non. (exemples 11 et 12).

Dans toutes les copies on relève l’importance que certains élèves attribuent aux distances entre les points (exemples 5, 9, 10) ou leur alignement sur des droites ou les deux simultanément. L’instrument « règle » a en effet deux fonctions : du côté gradué, de relever des mesures de longueur, du côté non gradué de modéliser la droite. Les élèves qui ne prennent den compte qu’une des deux directions et y reportent des longueurs ne sont pas conscients que l’autre dimension donne l’alignemen.

Toutes ce observations permettent d’affirmer que la notion « d’alignement » ou, plus généralement de « droite » comme support de l’alignement n’est pas «innée» mais est « à construire » pour de nombreux élèves de catégorie 4 et aussi 5, moins fréquemment.

Les procédures par calcul (multiplications et soustraction des points visibles), sont moins nombreuse, mais plus efficaces. Les erreurs se situent dans le comptage des points visibles (60 ou 62 au lieu de 61), dans le dénombrement des colonnes (11 au lieu de 12 pour les points blancs et 10 au lieu de 11 pour les points noirs).

Exploitations didactiques

Les observations des copies font apparaître une progression dans la construction du concept de « réseau de points » (les blancs et les noirs) du rectangle gris de la figure donnée dans l’énoncé du problème. Ces deux réseaux sont les sommets de quadrillages. D’un point de vue didactique cette connaissance semble à première vue « élémentaire », « évidente », « naturelle » ou si commune qu’on ne l’envisage pas comme « nécessaire » dans le cadre d’un programme scolaire. « On ne va perdre son temps à observer un papier quadrillé que les élèves utilisent quotidiennement ! »

Le problème Points cachés exige un travail de construction qui va au-delà de constatations ou de perceptions visuelles qui vont apparaître en phase de débat entre groupes d’élèves ou d’institutionnalisation par l’enseignant. Il faut absolument que chaque élève dessine les deux réseaux en les prolongeant sur la feuille blanche de la figure : il doit tracer les droites parallèles précisément en comprenant qu’elles sont déterminées par les points de la partie visible du rectangle gris, il doit comprendre que les distances entre deux points voisins d’une même droite sont égales, que les deux directions de droites sont perpendiculaires. Puis il doit pouvoir vérifier qu’il y a effectivement 89 points cachés (et non 88 ou 90) et qu’il y a une manière de calculer le total des points par multiplications et addition (7 × 12) + (6 × 11) = 150 et qu’il y a une relation entre ce nombre (150), le nombre des points visibles (61) et le nombre des points cachés.

Ce dessin précis est essentiel pour la construction de cette connaissance du réseau des points aux sommets d’un quadrillage qui fait appel aux concepts de droite, parallèle, perpendiculaire, distance constante et perception visuelle.

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