Triangoli in un quadrato

Identificazione

Rally: 31.F.25 ; categoria: 5 ; ambito: GP
Famiglie:

• CA - Confrontare aree
• DEC - Ritagliare e/o assemblare figure

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Sunto

Déterminer si deux types de triangles rectangles isocèles qui pavent chacun un demi carré (partagé par l'une de ses diagonales) sont de même grandeur, à partir d'une figure où les deux types de triangles rectangles isocèles peuvent paraître de même grandeur sans un examen attentif et après avoir reconstruit la figure en vraie grandeux

Determinare se due tipi di triangoli rettangoli isosceli, che pavimentano ciascumo un mezzo quadrato (diviso da una delle sue diagonali), hanno la stessa dimensione. (Con riferimento ad una figura in cui i due tipi di triangoli rettangoli isosceli possono sembrare della stessa dimensione senza un'attenta esame e dopo aver ricostruito la figura in vera grandezza.)

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Bisogna sapere:

- disegnare la figura a grandezza naturale;

- che la diagonale del quadrato lo divide in due parti aventi stessa area;

- trovare un argomento per determinare quale dei tipi di triangoli è il più grande.

Il primo compito è disegnare il collage su carta millimetrata.

L'ostacolo sta nell'impressione visiva immediata che i triangoli siano uguali. Se la differenza tra il numero di triangoli bianchi (8) e il numero di triangoli grigi (9) non è stata percepita, la costruzione dovrebbe farla apparire.

Nel caso in cui notiamo che ci sono 8 triangoli bianchi e 9 grigi che occupano due parti uguali del quadrato, il discorso è breve; per la stessa parte coperta dal quadrato grande con 8 bianchi o con 9 grigi, non può esserci uguaglianza tra triangoli grigi e triangoli bianchi. L'argomento potrebbe essere integrato con misurazioni, divisioni, determinazione di aree, ...

Se non notiamo la differenza nel numero dei triangoli bianchi e grigi, il ragionamento deve basarsi sulle misure dei lati (triangoli grigi in cm (4; 4; 5,7) e dei bianchi (4,2 ;4,2; 6) per vedere che i grigi sono più piccoli.

Nozioni matematiche

quadrato, triangolo, triangolo isoscele rettangolo, pavimentazione, area, lunghezza, misure di lunghezza, deduzione, equivalenza, scomposizione, similitudine, rapporto

Risultati

31.F.25

Sulle elaborati delle 9 classi della finale internazionale 2024:

Figura precisa e “i triangoli grigi e quelli bianchi non hanno la stessa dimensione” con uno degli argomenti precedenti (3 classi)

- Solo la figura e “i triangoli grigi e quelli bianchi non hanno la stessa dimensione senza spiegazione oppure “i triangoli grigi e quelli bianchi non hanno la stessa dimensione senza figura (3 classi)

- Figura precisa e confusione tra i triangoli piccoli e le due parti del quadrato che sono anch'esse triangoli, in questo caso la risposta ottenuta è “i triangoli grigi e quelli bianchi sono della stessa dimensione” (2 classi)

- Incomprensione del problema (1 classe)

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

8 dei 9 nove elaborati esaminati, presentano il disegno del quadrato di 12 cm con i (17) triangoli bianchi o grigi. L'ultima si limita all'informazione: “abbiamo calcolato le lunghezze”.

La risposta “no, i triangoli non hanno la stessa lunghezza” appare in 5 elaborati:

- No perché i triangoli di Giulia sono uno in più, quindi abbiamo fatto altri calcoli per arrivare al risultato. (nel disegno a grandezza naturale, i lati dell'angolo retto sono calcolati per i triangoli grigi (12: 3 = 4 in cm) e misurati per i triangoli bianchi (8,4: 2 = 4,2 cm). La differenza nel numero di triangoli non è sufficiente per gli allievi che hanno bisogno di conferme.

- No perché c'è di più dalla parte grigia che dalla parte bianca. Per questo gruppo è sufficiente la differenza nel numero di triangoli.

- I triangoli più grandi sono i bianchi. Misurazione precisa al mm di tutti i lati di ogni tipo di triangolo per arrivare a perimetri di 13,5 e 14,6 cm.

- I triangoli non sono uguali. Per considerazioni sui prolungamenti dei segmenti delle due parti, abbastanza difficili da comprendere ma corrette.

- Gli 8 triangoli bianchi e i 9 triangoli grigi sono contrassegnati nel disegno dalle lettere B e G. Abbiamo capito che i triangoli grigi sono più grandi dei bianchi perché abbiamo calcolato la grandezza dei triangolo, perché gli abbiamo disegnati. In questo caso, poiché 9 è più grande di 8, quelli grigi sono i più grandi!!

Tre elaborati evidenziano una confusione tra le parti grigie e bianche del quadrato (che sono anche triangoli) e “i” triangoli bianchi e “i” triangoli grigi dell’enunciato, per concludere che le parti triangolari sono uguali.

Se la domanda si fosse concentrata sul confronto dei “piccoli” triangoli grigi e bianchi forse avrebbe ridotto la frequenza di questa lettura errata.

Indicazioni didattiche

Possiamo essere certi che mettendo in comune i risultati dei diversi gruppi si aprirà il dibattito tra il sì e il no:

- rendersi conto che ci sono 17 triangoli (8 e 9)

- far esplicitare un’argomentazione: dall'uguaglianza delle aree dei due semi quadrati, dedurre che, non solo i triangoli non possono avere la stessa dimensione se 8 bianchi occupano la stessa superficie di 9 grigi, ma anche che i bianchi sono quindi più grandi di quelli grigi.

(Per ulteriori informazioni sull'utilizzo del problema in classe, vedere l'articolo di Brunella Brogi, in bibliografia.)

Per andare più lontano

Chiedere di trovare l'area del quadrato: 144 (cm2); quella dei semi quadrati: 72 cm2; l'area dei triangoli bianchi: 72:8=9 (cm$^2$) e quella dei triangoli grigi 72:9 = 8 (cm$^2$)

Chiedere quali sono i lati dei triangoli la cui lunghezza è un numero intero di cm, poi misurando gli altri lati calcolare i perimetri, che misurano circa 13,5 e 14,5 cm

Bibliografia

Jaquet F. (2024) Analyses de la finale internationale de 2024. In Gazette de Transalpie / Gazzetta del Trasalpino 15. pp.77-128

Brogi B. Triangolini in un quadrato. In Gazette de Transalpie / Gazzetta del Trasalpino 15. pp.77-128 (Allegato dell'articolo precedente)