Le rectangle à dessiner

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Rallye: 19.II.19 ; catégories: 9, 10 ; domaine: GP
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• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires

Remarque et suggestion

Résumé

Vérifier si un rectangle de 12 cm sur 2 cm, puis un rectangle de 13 cm sur 2 cm, peuvent être inscrits dans un carré de 10 cm de côté.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Écarter les réponses non réfléchies comme « oui, car l’aire du rectangle est plus petite que celle du carré » ou « non car sa longueur est supérieure au côté du carré » et se rendre compte qu’on ne peut pas placer les côtés du rectangle parallèlement à ceux du carré.

- Observer que la disposition d’un rectangle ayant la plus grande longueur possible est de placer ses quatre sommets sur les côtés du carré, avec ses axes sur les diagonales du carré.

- Effectuer les calculs pour vérifier si un rectangle 2 x 12 peut être entièrement à l’intérieur du carré 10 x 10. Il y a plusieurs méthodes.

Par exemple considérer le plus petit carré dans lequel on peut inscrire le rectangle le long d’une diagonale (dessin de gauche). Utiliser la propriété de Pythagore pour calculer 2a² = 144 –> a = √72 et 2b² = 4 –> b = √2

et en déduire la somme a + b ≈ 9,9 , ce qui signifie que le rectangle 2 x 12 est inscrit dans un carré d’environ 9,9 cm de côté. Conclure que le dessin est possible.

Par contre avec un rectangle 2 x 13, a = √(169/2) = 13/√2 et b = √2, d’où a + b > 10,6 le dessin est impossible.

Ou bien, remarquer que le contact de la largeur du rectangle avec deux côtés adjacents du carré forme un triangle rectangle isocèle et donne les mesures du dessin de droite.

- En déduire que la diagonale du carré minimal a pour longueur 1 + 12 + 1 = 14 cm pour le rectangle 2 x 12 et 15 cm pour le rectangle 2 x 13.

- Comparer avec la diagonale du carré 10 x 10. Sa longueur est 10√2 ≈ 14,14 cm.

- Conclure que le dessin est possible pour le premier et impossible pour le deuxième.

Ou bien, calculer la longueur de la diagonale du carré 10 x 10 en utilisant le théorème de Pythagore : 14,14 cm (environ), et ensuite enlever les 2 segments de diagonale aux extrémités, de longueur 1 cm pour chacun comme indiqué ci-dessus, il reste donc 12,14 cm, ce qui permet de placer le rectangle 12 x 2, mais pas le rectangle 13 x 2.

Notions mathématiques

géométrie, triangle rectangle, Pythagore, côté, cercle inscrit, approximations

Résultats

19.II.19

Points attribués, sur 219 classes de 10 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponses correctes « oui et non » avec les dessins et des calculs justifiés analogues aux exemples donnés
• 3 point: Réponses « oui et non », avec les dessins mais avec des lacunes dans l’explication ou des calculs non justifiés
• 2 points: Réponse correcte pour une seule des deux questions qui témoignent de calculs corrects ou avec un dessin très soigné
• 1 point: Réponses sur la base de mesures seulement
  ou une seule réponse avec une erreur de calcul mais avec un dessin correct
• 0 point: Réponse « oui » basée sur les aires, ou réponse « non » basée sur les longueurs des côtés, ou incompréhension du problème

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