Banque de problèmes du RMT
gp23-fr
|
|
Banque de problèmes du RMTgp23-fr |
|
Interpréter un schéma et montrer qu’un triangle qui apparaît comme rectangle, l’est vraiment. En tirer le calcul d’un des côtés de l’angle droit connaissant les mesures de l’autre côté de l’angle droit et de l’hypoténuse.
Observer le dessin et conjecturer que le triangle PRS est rectangle en R.
- Pour démontrer cela, remarquer que le triangle POR est équilatéral, ayant ses 3 côtés de même longueur. On en déduit que l’angle ROS mesure 120° (= 180° – 60°), comme angle extérieur à l’angle POR du triangle équilatéral. Comme le triangle ROS est isocèle, ses angles en R et S mesurent 30°. L’angle PRS mesure donc 60° + 30° = 90°.
Ou : observer que le triangle PRS est inscrit dans le demi-cercle centré en O et de rayon 20 m.
Appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la mesure de RS.
On obtient RS2 = (2 x 20)2 – 202 = 3 x 202, d’où RS = 20 √3, ce qui donne avec l’approximation demandée : RS = 34,64 m à 1 cm près.
Ou bien, en traçant la hauteur OH issue de O du triangle équilatéral qui est aussi une médiane, et en traçant la parallèle à PR passant par O qui coupe RS en son milieu M, on obtient un rectangle OMRH où RM = OH = 20 x 3/2 ≈ 17,320 m (propriété de la hauteur d’un triangle équilatéral ou théorème de Pythagore). La longueur SR est alors le double : 34.64 m à 1 cm près.
Ou bien, constater que le triangle PSR est un triangle rectangle avec un angle de 30°, il est donc la moitié d'un triangle équilatéral de côté SP dont SR est la hauteur. D’où SR = SP √3/2 = 40 √3/2 = 34,64 m à 1 cm près.
Ou bien, après avoir vu que le triangle ORS est isocèle, en traçant sa hauteur issue de O, on obtient deux triangles rectangles symétriques. La longueur de la projection de OR sur RS peut être obtenue par les propriétés des triangles rectangles ayant des angles de 30° et de 60°, et on obtient la longueur RS en multipliant par deux : RS = 2O R cos30° = 2 x 20 √3/2 = 34,64 m à 1 cm près.
géométrie, triangle rectangle, triangle isocèle, triangle équilatéral, somme des angles, Pythagore, côté, cercle inscrit, inégalité triangulaire, racine carrée, approximation
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 8 | 75 (15%) | 41 (8%) | 65 (13%) | 175 (36%) | 132 (27%) | 488 | 2.51 |
| Cat 9 | 23 (18%) | 5 (4%) | 15 (12%) | 34 (27%) | 49 (39%) | 126 | 2.64 |
| Cat 10 | 22 (24%) | 3 (3%) | 9 (10%) | 23 (25%) | 36 (39%) | 93 | 2.52 |
| Total | 120 (17%) | 49 (7%) | 89 (13%) | 232 (33%) | 217 (31%) | 707 | 2.53 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
(c) ARMT, 2011-2024