Les carrés d'Alex et de François

Identification

Rallye: 17.II.16 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaines: GP, GM, PR
Familles:

• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres
• SP - Traiter des suites proportionnelles
• SP/RIP - Effectuer des répartitions proportionnelles

Remarque et suggestion

Résumé

Calculer l'aire d'un rectangle formé de cinq carrés (de côtés dans les rapports 1, 1, 2, 3, 5) connaissant son périmètre (130 cm), puis calculer le périmètre d’un rectangle semblable connaissant son aire (1440 cm²).

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

La tâche peut être envisagée selon des approches différentes:

1. Observer la figure et identifier sa structure. Réaliser que le rectangle peut se paver avec des petits carrés. Dénombrer les côtés de petit carré contenus dans le périmètre du rectangle et les petits carrés pavant sa surface. En déduire par division respectivement la longueur d'un petit carré pour la question 1 et l'aire d'un petit carré puis, en extrayant sa racine carrée, son côté pour la question 2. Calculer alors la longueur et la largeur du rectangle et déterminer, selon la question posée, son périmètre ou son aire par retour au sens ou utilisation des formules de périmètre ou d'aire du rectangle.
2. Réaliser que la figure représente une famille de rectangles semblables qui sont des agrandissements les uns des autres. Puis utiliser la proportionnalité pour, dans la première question, calculer directement les dimensions du rectangle de périmètre souhaité à partir de celles du rectangle donné dans l'énoncé et, dans la seconde, les retrouver en utilisant la racine carrée du coefficient multiplicateur permettant de passer de l'aire du rectangle donné à celle du rectangle cherché. Conclure en déterminant le périmètre ou l'aire du rectangle selon la question posée.

Notions mathématiques

périmètre, aire, proportionnalité, figure, rectangle, carré

Résultats

17.II.16

Sur 1165 classes (21 sections) ayant participé à l’épreuve II du 17ème RMT.

Selon les critères d'attribution des points:

• 4 points: Les deux réponses (1000 cm2 et 156 cm) justifiées
• 3 points: Les deux réponses correctes sans explications ou explications confuses
• 2 points: Une réponse correcte et l’autre manquante ou erronée à cause d’une erreur de calcul
• 1 point: Début de raisonnement cohérent
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Trois procédures apparaissent principalement dans les classes :

1. Pavage de la figure en petits carrés, puis détermination du côté (ou de l’aire) d’un petit carré par calcul ou par essais de valeurs, enfin calcul de l’aire (ou du périmètre) du rectangle demandé.
2. Essais organisés de schémas (ou de dessins à l’échelle) d’un rectangle de périmètre (ou d’aire) voulu(e) avec contrôle de la possibilité d’effectuer ou non un pavage en carrés conforme à celui de la figure modèle, puis calcul de l’aire (ou du périmètre) du rectangle demandé.
3. Utilisation du coefficient de proportionnalité, presque uniquement dans le cas d’Alex, pour déterminer les dimensions du rectangle de 130cm de périmètre, par agrandissement du rectangle donné dans l’énoncé ou d’un rectangle semblable préalablement construit par les élèves, puis calcul de l’aire (ou du périmètre) du rectangle demandé.

La principale difficulté rencontrée par les élèves réside dans l’analyse de la figure : la construction du rectangle à partir du petit carré, et les relations qui lient les côtés des carrés successifs, ne sont souvent pas perçues par les élèves. De ce fait la donnée « cinq carrés » de l’énoncé est souvent soit:

• mal interprétée : des élèves, par exemple, divisent le périmètre par 5 (voir "aller plus loin");
• traitée en seconde contrainte : ainsi des élèves ont préféré fixer d’abord la longueur et la largeur du rectangle de périmètre ou d’aire voulue avant de chercher, sans toujours y parvenir, à le partager en cinq carrés comme sur la figure modèle;
• non prise en compte : certains élèves déterminent alors l’aire (ou le périmètre) d’un des rectangles de périmètre (ou d’aire) voulu(e) sans vérifier qu’il peut être pavé avec cinq carrés.

Cette dernière erreur montre que la conception, selon laquelle il correspondrait, à un périmètre (ou une aire) donné(e), une seule figure associée dont l’aire (ou le périmètre) serait de fait fixée, est encore prégnante chez des élèves de catégorie 9 et 10 et qu’elle demeure un obstacle à l’apprentissage des concepts d’aire et périmètre.

Exploitations didactiques

La situation est riche et demande d’être exploitée, après la résolution, en phase de validation des solutions puis de synthèse. Selon les procédures ou erreurs effectivement apparues, cette synthèse pourra revenir sur les notions et connaissances mises en jeu (aire/périmètre, agrandissement/proportionnalité) ou pointer la diversité des stratégies utilisées (raisonnement déductif, essais organisés, référence à un problème connu…) et la possibilité d’en utiliser plusieurs pendant la recherche. Ce moment important de synthèse peut permettre aux élèves de tirer d’une résolution d’un problème particulier, des enseignements plus généraux qu’ils pourront éventuellement mettre à profit lors de la résolution de nouveaux problèmes.

Pour aller plus loin

La faiblesse des résultats obtenus lors du 17^ème rallye et le pourcentage important "d'incompréhensions du problème" conduit à proposer une réécriture de l'énoncé du problème.

Nouvel énoncé :

Alex et François considèrent la figure suivante représentant un rectangle formé de cinq carrés.

Alex affirme que s’il connaît le périmètre d’un tel rectangle, il peut calculer son aire.

Quelle est l’aire calculée par Alex lorsque le périmètre du rectangle est 130 cm ?

François prétend qu’il peut calculer le périmètre d’un tel rectangle à partir de son aire.

Quel est le périmètre obtenu par François lorsque l’aire du rectangle est 1440 cm² ?

Expliquez comment vous avez trouvé.

Remarques:

• Le chiffre 5 est apparu dans beaucoup de calculs d'élèves qui l'ont repéré et interprété comme un nombre à utiliser. C'est la raison pour laquelle le 5 est écrit en lettres dans la nouvelle version.
• Certains élèves ont considéré que les grandeurs 130 cm et 1440 cm² se rapportaient à un rectangle unique et que les solutions du problème étaient données dans l'énoncé. Pour rendre la consigne plus claire, les deux questions ont été scindées, "du rectangle" a été remplacé par "d'un tel rectangle" et l'intitulé de la question a été réécrit pour y mentionner les mesures des grandeurs en jeu.

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