Les triangles (I)

Identification

Rallye: 16.I.04 ; catégories: 3, 4, 5 ; domaine: GP
Familles:

• IF - Identifier des figures
• IF/INV - Dresser un inventaire

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer le nombre de triangles (24) que l’on peut observer dans une figure composée d’un carré d’une de ses diagonales et de quatre segments reliant les deux sommets qui ne sont pas sur la diagonale aux milieux des côtés opposés.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori de la tâche:

- Identifier les triangles.

- Se rendre compte qu’il n’y a pas que les 10 « petits » triangles juxtaposés qui composent le carré, mais qu’il y a aussi des triangles plus grands, formés de plusieurs « petits ».

- Déterminer une démarche de comptage des triangles, par « catégories ». Par exemple on peut dénombrer les triangles en fonction du nombre de « petits » triangles qu’ils contiennent :

  nombre de petits triangles contenus : 1 2 3 4 5
  triangles dénombrés :                10 4 8 0 2 
  total : 24

Les 24 triangles:

Ou : choisir un segment ; compter tous les triangles qui ont ce segment pour côté. Éliminer ce segment, en choisir un autre et recommencer. Ainsi de suite... en faisant attention de ne pas choisir deux fois le même triangle.

Ou : choisir un point d’intersection de segments. Compter tous les triangles qui ont ce point pour sommet. Éliminer ce point et recommencer avec un autre point...

- Le comptage peut se faire en coloriant sur la figure reproduite en plusieurs exemplaires ou en nommant les points pour désigner les triangles. Une série de découpages sur plusieurs exemplaires de la figure est également envisageable.

- Observer une symétrie par rapport à la diagonale dessinée du carré permet de rendre le comptage plus économique.

Notions mathématiques

triangles, figure complexe, organisation d’un dénombrement

Résultats

16.I.04

Points attribués sur 1259 classes:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse exacte « 24 triangles »* avec explications complètes du comptage (dessins des triangles de chaque « catégorie », descriptions et nombre de triangles par catégorie ...)
• 3 points: Réponse exacte « 24 triangles » avec explications imprécises ou incomplètes du comptage, sans répétitions et sans autres figures
  ou de 20 à 23 triangles différents, sans répétitions, avec explications et sans autres figures que des triangles
• 2 points: Réponse exacte « 24 triangles » sans explications, sans répétitions ou sans autres figures que des triangles
  ou réponse exacte, mais avec d’autres figures que des triangles ou avec répétitions
  ou de 16 à 19 triangles différents avec explications et sans autres formes que des triangles
• 1 point: De 10 à 15 triangles corrects différents
• 0 point: Incompréhension du problème ou autres réponses

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Les procédures relevées sont très nombreuses et variées.

Il faut tout d'abord se rendre compte qu’il n’y a pas que les 10 « petits » triangles juxtaposés qui composent le carré, mais qu’il y a aussi des triangles plus grands, formés de plusieurs « petits ».

La tentation fréquente est de tracer le contour des différents triangles repérés avec des traits de couleur, mais ceux-ci se superposent et après quelques triangles, il n'est plus possible d'avoir un inventaire précis.

Une démarche de comptage des triangles, par « catégories » en fonction du nombre de « petits » triangles qu’ils contiennent est plus efficace. La difficulté est alors de distinguer les "formes" de ces triangles composés et de ne pas en oublier; puis de retrouver les diverses positions de ces triangles composés, par rotations ou symétries.

Par exemple, il y qu'un seul type de triangles constitués de deux triangles élémentaires (dont le côté le plus long occupe un côté entier du carré) qu'on trouve dans quatre positions (sur chacun des côtés du carré); mai il y a deux types de triangles formés de trois triangles élémentaires, ...

De la catégorie 3 à la catégorie 5, la moyenne des points obtenus augmente sensiblement, même si elle reste "modeste".

L'obstacle réside dans l'identification des différents triangles (il y en a 7 en tout: trois "élémentaires", un composé de 2 élémentaires, deux composés de 3 élémentaires et un composé de 5 élémentaires), dans la reconnaissance des triangles isométriques par rotations, dans leur notation, dans l'organisation logique de l'inventaire.

Exploitations didactiques

Cette recherche déborde largement de la notion de "triangle" des programmes scolaires.

On doit envisager des triangles "simples" et "composés",d'angles différents, dans différentes positions différentes, formant des "familles" de triangles égaux où l'on peut passer de l'un à l'autre par des rotations d'un quart de tour ou d'un demi-tour.

Il faut ensuite trouver un moyen de noter les différents types de triangles pour être en mesure de les retrouver ou de les reconnaître.

Il faut enfin trouver une organisation efficace de l'inventaire, exhaustif, sans "doublon".

Toutes ces phases de la recherche appellent de manière quasi naturelle la collaboration et les échanges au sein de la classe.

L'activité peut se développer de manière souple dans les confrontations et dans la durée.

De très nombreuses variantes du problème figurent dans la famille [[fam:IF/INV|Identification de figures/Inventaires]].

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