Les triangles (II)

Identification

Rallye: 16.I.14 ; catégories: 6, 7, 8, 9, 10 ; domaine: GP
Familles:

• IF - Identifier des figures
• IF/INV - Dresser un inventaire

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer le nombre de triangles (40) que l’on peut observer dans une figure composée d’un carré, de ses deux diagonales et de quatre segments reliant deux sommets aux milieux des côtés opposés.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori de la tâche:

- Identifier les triangles.

- Se rendre compte qu’il n’y a pas que les 12 « petits » triangles juxtaposés qui composent le carré, mais qu’il y a aussi des triangles plus grands, formés de plusieurs « petits ». (Voir dessins page suivante)

- Déterminer une démarche de comptage des triangles, par « catégories ». Par exemple on peut dénombrer les triangles en fonction du nombre de « petits » triangles qu’ils contiennent :

  nombre de petits triangles contenus :  1  2  3  4  5  6
  triangles dénombrés:                  12  8 12  4  0  4 
  total : 40

Les 40 triangles:

Ou : choisir un segment ; compter tous les triangles qui ont ce segment pour côté. Éliminer ce segment, en choisir un autre et recommencer. Ainsi de suite... en faisant attention de ne pas choisir deux fois le même triangle.

Ou: choisir un point d’intersection de deux segments compter tous les triangles qui ont ce point pour sommet; éliminer ce point et recommencer avec un autre ...

- Le comptage peut se faire en coloriant sur la figure reproduite en plusieurs exemplaires ou en nommant les points pour désigner les triangles.

- Observer une symétrie par rapport à la diagonale dessinée du carré, ce qui permet de rendre le comptage plus économique.

Notions mathématiques

triangle, figure complexe, organisation d’un dénombrement

Résultats

16.I.14

Points attribués sur 1527 classes:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse exacte « 40 triangles* » avec explications complètes du comptage (dessins des triangles de chaque « catégorie », descriptions et nombre de triangles par catégorie, etc.)
• 3 points: Réponse exacte « 40 triangles » avec explications imprécises ou incomplètes du comptage, sans répétitions et sans autres figures
  ou de 35 à 39 triangles sans répétitions avec explications sans autres figures que des triangles
• 2 points: Réponse exacte « 40 triangles » sans explications sans doublons et sans autres figures que des triangles
  ou réponse exacte « 40 triangles » mais accompagnées d’autres figures que des triangles
  ou de 30 à 34 triangles différents avec explications et sans autres figures que des triangles
  ou de 16 à 19 triangles différents avec explications et sans autres formes que des triangles
• 1 point: De 20 à 29 triangles différents
• 0 point: Incompréhension du problème ou autres réponses

Procédures, obstacles et erreurs relevés

La moyenne des points évolue sensiblement de la catégorie 6 à la catégorie 8 (elle reste constante pour les classes d'élèves plus âgés de catégories 8 et 9). Cette moyenne reste cependant "basse": très peu de classes trouvent les 40 triangles et sont capables de décrire les "catégories" qu'elles ont identifiées.

On relève de très nombreuses manières de procéder pour ce dénombrement de triangles. Pour être efficaces, ces procédures doivent impérativement reposer sur la reconnaissance des différents types de triangles, selon leur forme et leur grandeur, pour déterminer des "catégories" ou "familles" de triangles égaux. Les dessins en couleur ne suffisent pas car il y a des superpositions, la désignation des triangles par leurs sommets est trop lourde. Une manière de dresser l'inventaire est de partir des 12 triangles élémentaires (non superposés) qui constituent la partition du carré, puis de distinguer ceux qui sont formés de deux, puis trois, ... jusqu'à 6 de ces éléments.

La tâche requiert donc une grande attention, de la rigueur, des notations économiques et précises et une maîtrise de la combinatoire des différentes figures formées d'un ou plusieurs triangles élémentaires.

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