Les carrés de Paul

Identification

Rallye: 19.I.04 ; catégories: 3, 4, 5 ; domaine: GP
Familles:

• DEC - Découper et/ou assembler des figures
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions

Remarque et suggestion

Résumé

Former des carrés possibles en juxtaposant des pièces choisies parmi quatre types de figures: un carré de 1 x 1, un carré de 2 x 2, trois rectangles de 1 x 2, et trois rectangles de 1 x 3

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Percevoir, d’après les figures données, les rapports entre les dimensions des quatre sortes de pièces : (1 x 1), (1 x 2), (1 x 3) et (2 x 2) afin de pouvoir les juxtaposer.

- Comprendre que pour construire les carrés on ne peut utiliser que les huit pièces à disposition pour chaque construction, mais qu’il n’est pas nécessaire de les utiliser toutes.

- Vérifier les deux exemples de carrés d’une seule couleur (qui utilisent pourtant plusieurs pièces).

- Chercher à construire un carré de deux couleurs (avec deux sortes de pièces) et voir qu’il n’y a qu’une possibilité pour un carré de 3 x 3, avec les trois petits rectangles et un grand rectangle (voir ci-dessous). (On ne peut utiliser ni le petit carré noir, ni le grand blanc car il faudrait encore deux autres sortes de pièces pour terminer la construction. Pour un carré plus grand, de 4 x 4, il faudrait aussi plus de deux sortes de pièces.)

- Constater que, pour le carré avec quatre sortes de pièces, il n’existe pas de carré de 3 x 3, par essais ou par des considérations sur les aires. (Les quatre sortes de pièces donnent au minimum une aire de 1 + 4 + 2 + 3 = 10, qui est supérieur à 3 x 3 = 9). En cherchant à construire des carrés de 4 x 4, avec les quatre sortes de pièces, on s’aperçoit qu’il n’y a aussi qu’une solution, par essais (ou éventuellement, pour les plus grands élèves, par des considérations sur les aires : une pièce de chaque sorte donne déjà une aire de 10, pour aller à 16 il faut obligatoirement ajouter deux pièces d’aire 3, c’est-à-dire deux grands rectangles. )

- Former alors un carré de 4 x 4 avec le petit noir, le grand blanc, un petit rectangle vert et les trois grands rectangles rouges.

Notions mathématiques

carré, rectangle, juxtaposition

Résultats

19.I.04

Points attribués sur 1539 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Les deux carrés dessinés correctement, avec les pièces apparentes indépendamment de la disposition des pièces
• 3 points: Les deux carrés dessinés correctement, mais avec la présence d’autres carrés obtenus avec les mêmes pièces, disposées autrement (contrairement à la demande : « ne dessinez qu’un seul carré de 2 ou 4 couleurs »)
• 2 points: Un seul des deux carrés dessiné correctement avec les pièces apparentes
  ou les deux carrés dessinés correctement avec un ou plusieurs autres carrés qui ne satisfont pas les conditions (avec par exemple deux carrés noirs, ou plus de trois rectangles verts, ou trois couleurs au lieu de deux…)
• 1 point: Un ou deux carrés de deux ou quatre couleurs, qui ne satisfont pas les conditions
  ou un rectangle (non carré) respectant les contraintes
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

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