Carré à recouvrir

Identification

Rallye: 12.I.05 ; catégories: 3, 4, 5 ; domaine: GP
Familles:

• DEC - Découper et/ou assembler des figures
• RO - Paver une figure de manière optimale

Remarque et suggestion

Résumé

Recouvrir une grille de 4 x 4 avec un minimum de pièces choisies parmi deux pentominos (L et Y), deux tétraminos (T), deux triminos (L) et un domino.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Trouver toutes les manières de recouvrir une grille de 4 x 4 avec un minimum de pièces choisies parmi un lot de deux pentaminos (L et Y), deux tétraminos (T), deux triominos (L) et un domino.

Déterminer le nombre de carrés de la grille (16) et de chacune des sept pièces (5, 5, 4, 4, 3, 3 et 2), pour trouver une décomposition additive de 16 en un minimum de termes à disposition (quatre termes) : une qui utilise les deux tétraminos et deux triominos, une autre qui utilise un pentamino (pas le L), les deux tétraminos et un triomino,

Par exemple :

Savoir reconnaître les pièces dans différentes positions : permanence ou invariance des figures géométrique par translation, rotation ou symétrie axiale (ou « retournement) et essayer de trouver les dispositions correspondant aux décompositions optimales de 16. On peut aussi trouver les compositions par essais successifs.

Notions mathématiques

pavage, aire, tétramino, trimino, domino, décomposition additive

Résultats

12.I.05

Points attribués sur 458 copies de 6 sections italiennes, suisse et luxembourgeoise

Selon les critères de l’analyse a priori du problème :

• 4 points: Réponse correcte : les deux solutions optimales avec les dessins correspondants du carré
• 3 points: Une seule solution optimale et le dessin correspondant ou les deux solutions optimales sans dessin
  ou les deux solutions optimales avec dessin et une solution supplémentaire non optimale (5 pièces)
  ou les deux solutions optimales avec dessin et d’autres solutions isométriques aux premières (rotations ou symétriques)
• 2 points: Une seule solution optimale avec dessin et d’autres non optimales (5 pièces) ou isométriques à la première
• 1 point: Une seule solution non optimale
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Le tableau des points attribués montre que le problème est assez facile.

L’âge n’a pas beaucoup d’effet sur la réussite.

La seule erreur, ou difficulté, rencontrée se rapporte à la recherche d’une deuxième solution. D’après le tableau, les deux tiers des groupes ont trouvé une solution correcte (65%) et seulement 9% les deux solutions. Il est fréquent, en effet que les jeunes élèves se contentent de la première solution trouvée s’ils n’y sont pas incités de façon explicite à en chercher d’autres.

Si l’on avait ajouté « toutes » dans la question « Dessinez vos solutions, pour qu’on distingue bien les différentes pièces » il est vraisemblable que plusieurs groupes auraient poursuivi la recherche.

Exploitations didactiques

Ce problème permet une première approche de l’aire et de sa mesure. Le passage du registre géométrique au registre numérique (détermination des décompositions de 16 ayant le moins de termes possibles) permet ensuite de restreindre le nombre de combinaison de pièces à envisager.

Pour aller plus loin

Le problème Carré à recouvrir comme Le défi fait partie d'une série de problèmes amenant à la construction du concept d'aire pour les classes de catégories 3 à 5, en particulier de sa propriété d'addition. A la suite d'expérimentations dans quelques classe (9) de catégorie 7 en début d'année scolaire, l'analyse des copies a montré que les deux solutions ont été trouvées mais sans références à la somme des mesures. Le groupe de travail pense que le problème peut aussi être utilisé en classes de catégories 6 et 7 soit pour vérifier la maîtrise du concept de conservation des aires soit pour aborder l'équivalence de figures planes. On pourrait demander aussi aux élèves de justifier leur procédure de résolution de ce problème. giustificazione del procedimento.

Exemples de copies d'élèves de catégorie 7:

Bibliographie

Bisso, C., Grugnetti, L., 2006, « Approccio al concetto di area con problemi del RMT », Gruppo di lavoro n° 8, “ellealquadrato”, in R. Battisti, R. Charnay, L. Grugnetti, F. Jaquet (Eds.) RMT : des problèmes à la pratique de la classe/RMT: dai problemi alla didattica quotidiana, Actes des journées d’études sur le Rallye mathématique transalpin, Bourg-en-Bresse 2004, Arco di Trento 2005, ARMT, IUFM de Lyon-Centre de Bourg-en-Bresse, IPRASE Trentino, 268-276.

Bisso C., Grugnetti L. (2006), « Il ruolo dei problemi del RMT nella costruzione del concetto di area’, in L. Grugnetti, F. Jaquet, D. Medici, M. G. Rinaldi, I problemi del RMT nella didattica quotidiana/ les problèmes du RMT dans la pratique de la classe, Parma 2006, ARMT, Dipartimento di Matematica dell’Università di Parma, Sezione ARMT di Parma, 25-36

Bisso C., Grugnetti L. (2006), « La costruzione del concetto di area con problemi del RMT », Gruppo di lavoro n° 6, “ellealquadrato”, in R. Battisti, R. Charnay, L. Grugnetti, F. Jaquet, D. Medici, M.-G. Rinaldi (Eds.) I problemi come supporto per l’apprendimento : il ruolo del RMT / Les problèmes au service de l’apprentissage : le rôle du RMT Parma 2006, ARMT, Dipartimento di Matematica dell’Università di Parma, Sezione ARMT di Parma, 169-187.

Douady R., Perrin-Glorian M.-J. (1989), « un processus d’apprentissage du concept d’aie de surfaces planes », Educational studies in mathematics, 20, 387-424

ERMEL (2006), Apprentissages géométriques et résolution de problèmes au cycle 3, ed. hatier, paris

Jaquet F. (2000), « Il conflitto aera-perimetro », L’educazione matematica, ed CRSEM, VI, 21, 2, (prima parte : n.2, 66-77, seconda parte : n.3, 126-143)

Rouche N. (1992), Le sens de la mesure, Formation Didier Hatier

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