Coupons les carrés en quatre

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Rallye: 20.I.09 ; catégories: 5, 6, 7 ; domaine: GP
Famille:

• DEC - Découper et/ou assembler des figures

Remarque et suggestion

Résumé

Trois figures données sont reconstitués à partir d’un découpage d’un carré en quatre pièces isométriques ; retrouver le découpage du carré d’origine et la disposition des quatre pièces dans chacune des figures données.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre les conditions de découpe du carré et les contraintes de l’assemblage des pièces.

- Une première démarche possible consiste à rechercher différentes façons de découper le carré en quatre figures identiques puis d’assembler les quatre pièces en les positionnant sur les figures :

• la décomposition en quatre carrés selon les médianes ou en quatre rectangles identiques (comme Isabelle) ne permet pas d'obtenir les trois autres figures ;
• la décomposition en quatre triangles isocèles rectangles selon les diagonales permet d'obtenir le triangle construit par Julie et le parallélogramme construit par Xavier.

• décomposition en deux rectangles égaux en utilisant une médiane du carré, puis de chaque rectangle en deux triangles rectangles égaux en utilisant une diagonale permet d'obtenir la figure de Serge (et non celle de Xavier !)

- Une seconde démarche consiste à découper les figures obtenues par Julie, Serge et Xavier en quatre figures égales :

... par exemple, pour la figure de Serge, faire apparaître un rectangle « demi-carré », puis de ce rectangle en deux triangles rectangles égaux en utilisant une diagonale ;

... et pour les figures de Julie et de Xavier, on peut procéder de 2 façons :

• en essayant de trouver des relations simples entre les mesures des côtés du triangle ou du parallélogramme et la mesure du côté du carré (moitié et double),
• en observant que les mesures des angles du triangle et de deux angles du parallélogramme sont la moitié de celles d’un angle droit, (ce qui permet d’éliminer la figure erronée de Xavier ).

Notions mathématiques

décomposition de figures, recomposition de figures

Résultats

20.I.09

Points attribués sur 2417 classes de 24 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Le découpage du carré et l’agencement correspondant des pièces pour chacune des trois figures
• 3 points: Le découpage du carré et l’agencement correspondant des pièces pour deux des trois figures, sans autre solution erronée
• 2 points: Le découpage du carré et l’agencement correspondant des pièces pour une des trois figures, sans autre solution erronée
  ou le découpage du carré et l’agencement correspondant des pièces pour deux des trois figures, et une solution erronée pour la troisième figure
• 1 point: Le découpage du carré et l’agencement correspondant des pièces pour une des trois figures, avec une solution erronée pour l’une ou les deux autres figures
  ou l’un ou les deux découpages du carré en quatre pièces identiques sans la reconstitution d’aucune des figures
  ou un, deux ou les trois découpages des figures en quatre pièces identiques, sans les découpages correspondants du carré
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

On note une progression sensible de la catégorie 5 à la catégorie 7, avec une diminution correspondante des cas d’incompréhension du problème.

Une analyse de copies pourrait donner une hiérarchisation de la difficulté des trois figures, mais sans savoir ce qu’on pourrait en tirer au niveau didactique.

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