Partage d’un carré

Identification

Rallye: 20.I.19 ; catégories: 9, 10 ; domaine: GP
Familles:

• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres

Remarque et suggestion

Résumé

Un carré et divisé en quatre parties par trois segments de longueur 10 : deux triangles isocèles isométriques et deux triangles rectangles, moitié d’un des triangles isocèles. Calculer l’aire de chacun de ces triangles.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Analyser la figure : deux triangles sont isocèles et égaux (deux côtés de 10 cm), leur axe de symétrie les partage en deux triangles rectangles de 10 cm d’hypoténuse, égaux aux deux triangles de gauche et de droite. En déduire que la longueur du petit côté d’un triangle rectangle est la moitié de celle de la base d’un triangle isocèle et le tiers du côté du carré ; puis que le grand côté de l’angle droit des triangles rectangles vaut le triple du petit côté.

- Établir alors la relation de Pythagore dans un des deux triangles rectangles. Par exemple, si c désigne la mesure du côté du carré, en cm : c² + (c/3)² = 10² , d’où c² = 90, puis que les aires des quatre triangles valent 15, 30, 30 et 15 (cm2).

Ou, sans Pythagore, travailler par quadrillage du carré d’origine en 3 x 3 et construire un carré de 10 cm de côté sur un des segments formant la diagonale d’un rectangle 3 x 1. Ce carré s’inscrit dans un quadrillage 4 x 4 et les 4 triangles en dehors du carré ont pour aire 6 carreaux. L’aire du carré d’aire 100 cm2 est donc celle de 10 carreaux du quadrillage. On en déduit que l’aire d’un petit carré du quadrillage vaut 10 cm2, que l’aire du carré d’origine vaut 90 cm2 et que les aires des quatre triangles sont 15, 30, 30 et 15 ( en cm2).

Ou faire un dessin précis, mais sans pouvoir être certain des mesures 15 et 30.

Notions mathématiques

géométrie, carré, aire, triangle isocèle, triangle rectangle, Pythagore, équation

Résultats

20.I.19

Résultats sur 234 classes de 10 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponses correctes (aires 15, 30, 30 et 15 (en cm2)) avec explications
• 3 points: Réponses correctes par dessin précis ou par calculs mais avec explications confuses
  ou réponses avec explications claires mais passage par le calcul de c = √90 conduisant à des approximations des aires
• 2 points: Réponses correctes sans explications
  ou reconnaissance du rapport 1/3 mais erreur dans la pose de l’équation et réponse cohérente
• 1 point: Début de raisonnement cohérent (perception du rapport 1/3, …)
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Toutes les connaissances nécessaires sont à disposition des élèves, selon les programmes, elles ne sont cependant pas mobilisables.

Proposition : le Groupe Géométrie plane examine quelques copies et cherche à déterminer la nature des obstacles, afin d’élaborer une version plus « facile » de ce problème.

(c) ARMT, 2012-2024