Bâtonnets et triangles

Identification

Rallye: 21.I.14 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaines: GP, OPN
Familles:

• IF - Identifier des figures
• IF/INV - Dresser un inventaire

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver le nombre de triangles différents dont les mesures des côtés sont trois des six nombres 4, 5, 6, 9, 10, 11.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre que trois bâtonnets permettent de construire un seul triangle.

- Comprendre que seulement les triplets vérifiant l’inégalité triangulaire permettent de construire un triangle (par exemple les triplets comme 4 - 5 - 10 ou 4 - 5 - 9 ne le permettent pas. (Un obstacle bien connu est celui du recours au seul dessin pour décider si le triangle est constructible : car même avec un dessin précis un triangle « impossible » peut apparaître 4 - 5 - 9 ou 4 - 6 - 10 ou 5 - 6 - 11).

- Dresser l’inventaire des 14 triplets différents (sans tenir compte de l’ordre pour éviter les triangles égaux) formés avec les 6 nombres: 4, 5, 6, 9, 10, 11, en éliminant ceux qui ne respectent pas l’inégalité triangulaire (l’un ne peut pas être supérieur ou égal à la somme des deux autres).

Trouver les 14 triplets solutions : 4 - 5 - 6 ; 4 - 6 - 9 ; 4 - 9 - 10 ; 4 - 9 - 11 ; 4-10-11 ; 5 - 6 - 9 ; 5 - 6- 10 ; 5 - 9 - 10 ; 5 - 9 - 11 ; 5 - 10 - 11 ; 6 - 9 - 10 ; 6 - 9 - 11; 6 - 10 - 11 : 9 - 10 - 11

Ou : dessiner les triangles un à un.

Ou : par manipulation, découper 6 bandes et procéder par essais successifs

- Conclure qu’il y a 14 triangles possibles (y compris celui qui figure dans l’énoncé)

Notions mathématiques

arithmétique, somme, différence, triangle, construction, inégalité triangulaire

Résultats

21.I.14

Points attribués, sur 1650 classes de 22 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte et complète (14 triangles donnés par leurs côtés ou par dessins) avec explications claires (inégalité triangulaire mentionnée, …)
• 3 points: Réponse correcte et complète sans explications
  ou une seule erreur (13 corrects et un oubli ou un seul doublon) avec explications
• 2 points: De 9 à 12 triangles corrects, oublis ou doublons ou solutions incorrectes (par ex. « triangle plat ») avec explications
  ou la réponse 14, sans explications
• 1 point: De 6 a 8 triangles corrects, avec oublis et intrus de la forme « triangle plat »
  ou réponse 20 triangles qui donne les 20 combinaisons des 6 nombres pris 3 à 3 (sans tenir compte des contraintes géométriques)
• 0 point: Incompréhension du problème ou moins de 6 triangles corrects

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Il semble qu’il y a beaucoup d’obstacles ou d’incompréhensions et que l’inégalité triangulaire n’est pas perçue.

D’après les expérimentations précédentes, on doit pouvoir reconnaître ceux qui se contentent d’un calcul combinatoire, de ceux pour à qui un enseignement trop abstrait a tué toute référence aux objets ou au « bon sens » géométrique.

L’analyse des copies doit pouvoir en dire plus. Elle pourra compléter celle du problème 07.II.09 Triangles et l’article qui s’y rapporte « La problematica delle condizioni di esistenza di un triangolo / La problématique des conditions d’existence d’un triangle Daniela Medici, Chantal Tièche Christinat et al. In actes Siena Neuchâtel 2001

Bibliographie

Adapté de Triangles (7.II.9)

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