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Du rectangle au carré

Identification

Rallye: 05.II.10 ; catégories: 5, 6 ; domaine: GP
Familles:

Remarque et suggestion

Résumé

Découper un rectangle de 16 x 9 en un minimum de pièces pour reconstituer un carré.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

Dans ce type de problème, la première chose à faire est de calculer la mesure de l'aire, qui ne doit pas changer. On connaît celle du rectangle : 9 x 16 = 144 (en cm2). Un carré dont l'aire mesure 144 cm2 a un côté dont la longueur mesure 12 cm, car 12 x 12 =144.

On "raccourcit" alors le rectangle d'une bande de 4 cm de largeur pour obtenir un rectangle de 9 x 12. La bande permet de former trois petits rectangles de 3 x 4, qu'on placera sur la longueur du grand.

Le rectangle d'origine a ainsi été découpé en 4 pièces rectangulaires.

Notions mathématiques

rectangle, carré, aire, longueur, décomposition, pavage

Résultats

05.II.10

Résultats de Suisse romande:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 5	28 (72%)	5 (13%)	1 (3%)	5 (13%)	0 (0%)	39	0.56
Cat 6	9 (45%)	4 (20%)	2 (10%)	5 (25%)	0 (0%)	20	1.15
Total	37 (63%)	9 (15%)	3 (5%)	10 (17%)	0 (0%)	59	0.76
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Découpage en 4 pièces, avec explications ou indications nécessaires (un dessin par exemple)
3 points: Découpage non optimal, de 5 à 12 pièces, avec explications ou indications nécessaires
2 points: Un carré de 12 cm de côté est indiqué ou dessiné, obtenu par un découpage de plus de 12 pièces (par exemple 36 petits carrés de 2x2)
1 point: Le rectangle est découpé en quatre triangles rectangles isométriques qui permettent de reconstituer un losange (qui "ressemble" à un carré mais dont les diagonales mesurent 18 et 16 cm)
ou la réponse mentionne clairement que le carré aura 12 cm de côté, sans découpage
0 point: Incompréhension du problème (des décompositions du rectangle en carrés, le partage du rectangle en deux rectangles de 8 cm sur 9 cm, des feuilles blanches ou quelques bribes d'essais)

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Le problème est à retravailler.

On n'a pas prévu les découpages en deux pièces, ou en trois pièces !! ce qu’un groupe d’élèves de Siena élèves ont découvert.

Exploitations didactiques

Le problème est cependant très intéressant et on pourra le proposer dès les catégories 6, 7 et 8 au moment où le concept de détermination de l'aire du carré et du rectangle, lié à la multiplication sera disponible.

Banque de problèmes du RMT