Banque de problèmes du RMT
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- Comprendre que les "distances" mentionnées dans l'énoncé se mesurent entre deux arbres en "ligne droite" et qu'il s'agira de comparer les longueurs des segments déterminés par deux points sur le dessin.
- Se rendre compte qu'il y a un très grand nombre de distances (segments) entre deux quelconques des 25 points et que beaucoup de ces distances seront égales (segments de même longueur). La plus courte est de 1 (en côté d'un carré de la grille), la plus grande est celle entre deux centres de carrés "opposés" en suivant une diagonale de la grille.
- Comprendre que, pour éviter de compter plusieurs fois une même distance, on peut se limiter aux distances entre un point au centre d'un carré d'un angle (par exemple celui du haut à gauche) et les 24 autres points. Puis, du fait de la symétrie par rapport à une diagonale, on peut encore limiter les comparaisons en ne s'intéressant qu'à 15 points: le point choisi dans un angle et 14 autres, sur et/ou au-dessous de la diagonale.
- Vérifier que du point choisi aux quatre autres de sa colonne il y a 4 distances "verticales" différentes (1, 2, 3, 4) puis que du point choisi aux quatre autres de la colonne voisine il y a encore 4 distances différentes, puis 3 distances différentes avec les 3 points au-dessous de la diagonale de la troisième colonne, puis 2 avec les points de la quatrième colonne et 1 avec le point opposé, (en diagonale), ce qui fait bien 14 distances différentes. (Fig 1).
- Les comparaisons peuvent se faire visuellement, de proche en proche. L'utilisation de la règle graduée n'est nécessaire que pour les deux distances entre le point fixe et, respectivement, celui du bas de la colonne voisine et l'avant dernier en suivant la diagonale. (√17 et √18)
- Une autre manière de déterminer le nombre de distances est l'utilisation du compas (Fig 2)
Sur 276 classes de 5 sections
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 71 (44%) | 22 (14%) | 38 (24%) | 8 (5%) | 21 (13%) | 160 | 1.29 |
| Cat 8 | 38 (33%) | 19 (16%) | 33 (28%) | 11 (9%) | 15 (13%) | 116 | 1.53 |
| Total | 109 (39%) | 41 (15%) | 71 (26%) | 19 (7%) | 36 (13%) | 276 | 1.39 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Malgré les moyennes basses obtenues dans les conditions de passation de l'épreuve, on se rend compte que la situation proposée par l'énoncé peut être largement exploitée en classe.
Après quelques minutes de recherche individuelle ou par groupes, une mise en commun doit permettre à chacun de s'approprier le tâche: percevoir les "distances"/"longueurs de segments" et éliminer les segments isométriques par le choix d'un point fixe. Si on considère les segments comme des diagonales de rectangles, la comparaison des longueurs de deux segments "voisins" (ou diagonales de deux rectangles de même largeur) se fait par déduction.
La seule comparaison qui nécessite une attention particulière est celle des deux diagonales d'un rectangle (1;4) et du carré (3;3). La différence est visible au compas ou par une construction précise d'un agrandissement de la grille. Elle peut aussi se faire par construction, sur quadrillage de carrés construits sur chacune des diagonales, puis par comptage des carreaux entiers et des parties de carreaux regroupées. Les aires de ces carrés sont respectivement 17 et 18 (en carreaux du quadrillage) et on peut en conclure, par déduction, que les deux segments sont différents. (Même sans Pythagore ni calculs de racines carrées!)
Dans la famille CA Comparaisons d'aires, on trouve de nombreux problèmes de détermination d'aires de figures sur quadrillage, par décomposition en figures simples dont les aires s'additionnent ou se soustraient à partir de celle d'un rectangle "circonscrit". Voir par exemple le problème Comparaison de figures (26.I.12)
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