Banca di problemi del RMT
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Trovare quante distanze differenti ci possano essere tra due centri dei 25 quadrati di una griglia quadrata, di 5 x 5.
- Capire che le “distanze” menzionate nell’enunciato si misurano tra due alberi in “linea retta” e che si tratterà di confrontare le lunghezze dei segmenti determinati da due punti sul disegno.
- Rendersi conto che c’è un gran numero di distanze (segmenti) tra due qualunque dei 25 punti e che molte di queste distanze saranno uguali (segmenti della stessa lunghezza). La più corta è di 1 (con unità il lato di un quadretto della griglia), la maggiore è quella tra due centri di quadrati “opposti” seguendo una diagonale della griglia.
- Capire che per evitare di contare diverse volte una medesima distanza, ci si può limitare alle distanze tra un punto al centro di un quadrato “in un angolo” (per esempio quello in alto a sinistra) e gli altri 24 punti. Poi, in virtù della simmetria rispetto a una diagonale, si può ancora limitare i confronti interessandosi solo a 15 punti: i punti scelti in un angolo e altri 14, sopra e/o sotto la diagonale.
- Verificare che dal punto scelto agli altri quattro della sua colonna ci sono 4 distanze “verticali” differenti (1, 2, 3, 4) poi che dal punto scelto agli altri quattro della colonna vicina ci sono ancora 4 distanze differenti, poi 3 distanze differenti con i 3 punti al di sotto della diagonale della terza colonna, poi 2 con i punti della quarta colonna e 1 con il punto opposto (in diagonale), cosa che porta a 14 distanze differenti (Fig 1).
- I confronti possono essere fatti via via visualmente. L’uso del righello è necessario solo per le due distanze tra il punto fissato e, rispettivamente, quello in basso della colonna vicina e il penultimo seguendo la diagonale (√17 et √18). - Un altro modo di determinare il numero di distanze è usare il compasso (Fig 2).
Su 276 classi di 5 sezioni
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 7 | 71 (44%) | 22 (14%) | 38 (24%) | 8 (5%) | 21 (13%) | 160 | 1.29 |
| Cat 8 | 38 (33%) | 19 (16%) | 33 (28%) | 11 (9%) | 15 (13%) | 116 | 1.53 |
| Totale | 109 (39%) | 41 (15%) | 71 (26%) | 19 (7%) | 36 (13%) | 276 | 1.39 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Malgrado le medie basse riscontrate nell’ambito della prova del RMT, la situazione proposta dell’enunciato può essere costruttivamente utilizzata in classe.
Dopo qualche minuto di ricerca individuale o in gruppo, una messa in comune permetterà a tutti di appropriarsi del compito: percepire le “distanze”/”lunghezze di segmenti” ed eliminare i segmenti congruenti partendo da un punto fisso. Se si considerano i segmenti come diagonali di rettangoli, il confronto delle lunghezze di due segmenti “vicini” (o diagonali di due rettangoli aventi la medesima larghezza) si può fare per deduzione.
Il solo confronto che richiede un’attenzione particolare è quello delle due diagonali di un rettangolo (1;4) e del quadrato (3;3). La differenza è visibile con l’uso del compasso o con la costruzione precisa di un ingrandimento della griglia quadrata. Il confronto può anche essere fatto per costruzione, su una quadrettatura di quadrati costruiti su ciascuna diagonale, poi con conteggio dei quadrati interi e di parti di quadrati raggruppati. Le aree di questi quadrati sono rispettivamente 17 e 18 (in quadrati della quadrettatura) e si può concludere, per deduzione, che i due segmenti sono differenti (anche senza il teorema di Pitagora, né calcoli di radici quadrate!).
Nella famiglia CA Confronto di aree, si trovano numerosi problemi di determinazione di aree di figure su una quadrettatura, per scomposizione in figure semplici le cui aree si addizionano o si sottraggono a partire da quella di un rettangolo “circoscritto”. Si veda ad esempio il problema Confronto di figure .
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