Banque de problèmes du RMT
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Comparer la longueur de 7 parcours qui « traversent » un quadrillage de 8 carrés de largeur, suivant des côtés ou des diagonales des carrés du quadrillage
Distinguer les unités « côtés » des unités « diagonales » des carrés d’un quadrillage et compter séparément les deux types de grandeurs en jeu.
Effectuer des « échanges » ou « compensations » d’unités, indépendamment de la position et de l’ordre.
Percevoir que la longueur d’une diagonale est supérieure à celle d’un côté mais inférieure à celle de deux côtés et surmonter l’obstacle des interférences entre la comparaison des aires et celle des longueurs.
Trouver une méthode de comparaisons par « échanges » ou « compensations » d’unités, indépendamment de la position et de l’ordre des segments.
comparaison de longueurs, côtés de carrés, diagonales de carrés
Cette distribution des points est celle de la section de Suisse romande
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 14 (26%) | 10 (19%) | 13 (24%) | 16 (30%) | 1 (2%) | 54 | 1.63 |
| Cat 6 | 10 (23%) | 4 (9%) | 6 (14%) | 23 (52%) | 1 (2%) | 44 | 2.02 |
| Cat 7 | 0 (0%) | 1 (3%) | 3 (8%) | 22 (61%) | 10 (28%) | 36 | 3.14 |
| Total | 24 (18%) | 15 (11%) | 22 (16%) | 61 (46%) | 12 (9%) | 134 | 2.16 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Une erreur assez répandue, présente dans toutes les catégories, dans chaque pays et région consiste à évaluer la diagonale à la moitié d'un côté de carré.
Une ligne verticale vaut un carré et une ligne oblique vaut la moitié d'un carré.
On fait l’hypothèse que l’attention est portée sur le carré et le demi-carré plutôt que sur le côté et la diagonale. On retrouverait ainsi le conflit aire / longueur non encore surmonté.
Une autre erreur est celle qui conduit à dire que E est le parcours le plus long et que tous les autres sont égaux. Dans ce cas, aucune distinction n'est faite entre le côté d'un carré et sa diagonale :
Les parcours sont tous égaux, de 8 carrés. excepté le parcours d'Émile que est de 9 carrés. Nous avons compté les carrés pour trouver l'ordre des parcours.
Cette erreur est la plus fréquente dans les degrés 5 et 6, elle dénote l'absence de distinction entre la distance et le parcours effectué pour cette distance. Mais, comme le suggère l'exemple précédent, il peut être aussi dû à une fixation de l'attention sur le carré, non pas comme aire ou comme longueur, mais comme atome constitutif du parcours.
Un autre type d’erreur apparaît dans les procédures où les élèves mesurent les longueurs sdirectement sur la figure de l’énoncé, segment par segment et, par conséquent, avec des imprécisions évidentes.
Ce problème peut constituer un « point de départ » pour affronter le conflit entre mesure de longueurs et mesures d’aires à partir du côté et de la diagonale d’un carré ; il aborde aussi la précision des mesures et leur substitution par des raisonnements fondés sur les équivalences logiques pour ouvrir la route des développements ultérieurs vers le passage aux nombres irrationnels. (racines carrées).
Tous les parcours proposés sont constitués de 8 segments verticaux ou en diagonale, à l’exception de E qui comprend 9 segments, 8 verticaux et 1 horizontal. Il y a déjà là un premier objet de débat collectif : comment classer la longueur de ce parcours de 9 segments par rapport aux autres de 8 segments ? Si on compare E avec C qui lui « ressemble » le plus, il serait souhaitable que les élèves puisse réduire la confrontation à celle de 2 côtés de carré et d’une diagonale après « soustraction » de 7 côtés de carré dans chaque parcours. On aboutirait ainsi à une question plus simple : est-ce plus court d’aller d’un sommet d’un carré à un sommet opposé en diagonale (ligne droite) ou en suivant les côtés ?
Un deuxième objet de débat, plus délicat, est celui de la confrontation entre les parcours E et C qui peut se réduite à la comparaison d’un parcours de 3 diagonales et d’un autre de 4 côtés, après « soustraction » de 5 côtés. L’estimation par « déplacement en ligne droite » n’est plus possible, le mesurage doit intervenir ici, après un éventuel agrandissement pour constater que le parcours en diagonales est plus long que celui qui suit les lignes du quadrillage.
A propos de la précision des mesures, l’analyse des copies des sections de Belluno, Cagliari, Parma, Siena et Suisse romande ont montré que les classes de catégorie 5, qui disposaient de papier quadrillé de 1 cm de côté ont été plus précis que les classes de niveaux supérieurs qui, habituellement non ne disposent pas de ce type ne matériel mais, surtout, n’ont pas pensé à agrandir le dessin sur d’autres papiers à quadrillages plus fins.
A partir du classement des trois première longueurs : C < E < B, le mesurage n’est plus nécessaire. Il n’est plus qu’un instrument de contrôle de raisonnements déductifs, basés sur des substitutions successives de diagonales (d) par des côtés de carrés (c) avec d > c : C(7c + 1d) < E(9c) < B(5c + 3d) < F(3c + 5d) < G(2c + 6d) < D(8d) = A (8d). Ce passage de la mesure, avec ses imprécisions et ses doutes, à la déduction qui ne laisse plus de place au doute est un pas important.
Le problème « La traversée du quadrillage » fait partie d’une famille de problèmes qui font intervenir les comparaisons de longueurs sur quadrillages, en particulier : « La table à déplacer « Triangles à découper »
Voir l’article Crociani C., Salomone L.: 2001 où sont développées les stratégies relevées, les erreurs récurrentes et les variables didactiques à propos de ce problème.
Crociani C., Salomone L.: 2001, Un problema di tipo geometrico: Attraverso la quadrettatura, in Grugnetti, Jaquet, Crociani, Doretti, Salomone (Eds.) RMT: evoluzione delle conoscenze e valutazione dei saperi matematici, Atti delle giornate di studio sul Rally matematico transalpino, Siena 1999 - Neuchâtel 2000, Università di Siena, IRDP di Neuchâtel, 118-128.
Crociani C:, Doretti L., Grugnetti L, Jaquet F.: (preprint), Difficultés dans la comparaison de longueurs. Gazette de Transalpie No 2).
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