Attraverso la quadrettatura

Identificazione

Rally: 08.II.08 ; categorie: 5, 6, 7 ; ambito: GP
Famiglie:

• QUA - Lavorare su una quadrettatura
• QUA/GQ - Gestire poligoni su carta quadrettata

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Sunto

Distinguere le unità “lati” dalle unità “diagonali” di quadretti di una griglia quadrata. Confrontare lunghezze.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Distinguere le unità “lati” dalle unità “diagonali” dei quadretti di una griglia quadrettata e fare un conteggio separato delle due grandezze in gioco. Effettuare eventualmente “scambi” o “compensazioni” di unità. Ricercare e trovare un metodo di confronto dei cammini C, E e B (per giustapposizione, ingrandimento e misura, confronto linea retta/linea poligonale, .... ).

Affrontare l’ostacolo insito nella relazione “segmento diagonale-quadrettatura” in merito alla conservazione o non conservazione di lunghezze.

Nozioni matematiche

confronto lunghezze, lato, diagonale, quadretti, griglia

Risultati

08.II.08

La distribuzione dei punteggi che si riposta qui è quella della sezione della Svizzera romanda:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta con il dettaglio delle “unità” C(7l + 1d) < E(9l) < B(5l + 3d) < F(3l + 5d) < G(2l + 6d) < D(8d) = A (8d) oppure le misure approssimate al millimetro, dopo un ingrandimento
• 3 punti: Risposta corretta basata su misure prese direttamente sul disegno dato oppure, un’inversione (con dettagli)
• 2 punti: Due inversioni con dettagli oppure risposta corretta senza alcun dettaglio
• 1 punto: Qualche elemento dell’elenco corretto senza la distinzione fra unità l (lato) e d (diagonale) oppure basata solo sul numero di tratti (esempio: E=9 più lungo di A=B=C=D=F=G=81)
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Un errore piuttosto diffuso, presente a tutti e tre i livelli e in sedi e nazionalità diversi, è consistito nel valutare la diagonale la metà del lato.

"Una linea tracciata in verticale vale un quadretto, mentre le linee tracciate in obliquo valgono mezzo quadretto."

Si ipotizza che l’attenzione sia stata posta sul quadretto e sul mezzo quadretto piuttosto che sul lato e sulla diagonale di un quadretto.

Un altro errore è dovuto al fatto di considerare il numero dei tratti, senza fare una distinzione fra lato e diagonale di un quadratino. Tale errore porta a stilare la seguente classifica: “E” è il percorso più lungo, tutti gli altri sono secondi a pari merito.

Questo errore è stato per lo più commesso da classi di livello 5 e 6 e denota, in generale, l’assenza di una precisa distinzione tra la distanza e il percorso scelto per colmare tale distanza (l’avere isolato “E” deriva semplicemente dal fatto che è l’unico con un tratto palesemente inutile).

Dalla spiegazione di una classe:“ I percorsi sono tutti uguali, cioè di 8 quadretti, eccetto il percorso disegnato da Emilio, di 9 quadretti: abbiamo stabilito l’ordine dei percorsi contando il numero dei quadretti”, si evince come si possa arrivare alla risposta errata precedente, ma a partire dall’impiego del quadretto, come un “atono” costitutivo del percorso. Un altro tipo di errore è scaturito dalle misure prese direttamente sulla figura dell’enunciato, segmento per segmento e quindi con imprecisioni evidenti.

Indicazioni didattiche

Tutti i percorsi, ad eccezione di E, sono costituiti da tratti verticali e tratti in diagonale.

Il problema in oggetto può provocare un conflitto fra le misura di lunghezza del lato e della diagonale di una griglia quadrettata e può essere utile, in particolare, per evidenziare tale conflitto, soprattutto laddove ancora non si sia affrontato esplicitamente l’argomento “rapporto fra lato e diagonale del quadrato”. Può così costituire un “punto di partenza” proprio per affrontare questo argomento che apre anche la strada all’importanza della precisione delle misure, soprattutto prima che gli allievi arrivino all’acquisizione di aspetti più “dotti” come la radice di 2.

A proposito della precisione delle misure, l’analisi degli elaborati delle sezioni di Belluno, Cagliari, Parma, Siena e Svizzera romanda, ha per esempio evidenziato come le classi di categoria 5, che avevano a disposizione fogli con quadretti di lato un centimetro, abbiano conseguito una maggiore precisione rispetto a classi di livello superiore che abitualmente non possiedono questo tipo di materiale, laddove non abbiano pensato di ingrandire il disegno.

Per andare più lontano

Questo problema fa parte di una serie di problemi che fanno intervenire il confronto di lunghezze su griglie quadrettate.

Attraverso la quadrettatura (08.II.04, cat 5-7) Distinguere le unità “lati” dalle unità “diagonali” dei quadretti di una griglia quadrettata

Il tavolo da spostare (16.F.24, cat 4-5) Distinguere rettangoli da parallelogrammi non rettangoli

Ritaglio di triangoli (19.II.13, cat 6-8) Individuare segmenti congruenti su una griglia quadrata

Si veda l’articolo Crociani C., Salomone L.: 2001 dove vengono sviluppate le strategie individuate, gli errori ricorrenti e le variabili didattiche riguardanti questo problema.

Nelle pagine da 104 a 109 dell'articolo del Gruppo Geometria piana, si trova un buon esempio di pratica nella classe di categoria 6 di questo problema. (Si veda Bibliografia)

Bibliografia

Crociani C., Salomone L.: 2001, Un problema di tipo geometrico: Attraverso la quadrettatura, in Grugnetti, Jaquet, Crociani, Doretti, Salomone (Eds.) RMT: evoluzione delle conoscenze e valutazione dei saperi matematici, Atti delle giornate di studio sul Rally matematico transalpino, Siena 1999 - Neuchâtel 2000, Università di Siena, IRDP di Neuchâtel, 118-128.

Crociani C:, Doretti L., Grugnetti L, Jaquet F.: (preprint), Difficultés dans la comparaison de longueurs. La Gazzetta di Transalpino No 2).

Gruppo Geometria piana / Groupe Géométrie plane (2024). Percorsi didattici per la geometria piana con problemi del RMT Parcours didactiques pour la géométrie plane par des problèmes RMT. In La Gazzetta di Transalpino / La Gazette de Transalpie. 14. pp 75-124