Roméo et Juliette

Identification

Rallye: 16.I.06 ; catégories: 4, 5 ; domaine: GP
Familles:

• CH - Déterminer des chemins et des parcours
• CH/CQ - Dessiner des chemins sur un quadrillage

Remarque et suggestion

Résumé

Choisir le chemin le plus court possible entre deux points fixés et passant par un troisième à choix sur un réseau triangulaire. Le réseau triangulaire est donné par un quadrillage complété par une diagonale de chaque carré.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Constater qu’il y a de nombreux parcours de Roméo à Juliette passant par l’un des bouquets.

- Se rendre compte que, pour comparer les longueurs de deux parcours, il ne suffit pas de calculer le nombre de « tronçons » du schéma mais qu’il faut distinguer les deux types de tronçons en présence qui correspondent à deux unités de mesure non équivalentes : le côté et la diagonale d’un carré du quadrillage.

- Trouver les critères de comparaison de ces deux unités : une diagonale est plus longue qu’un côté mais deux côtés sont plus longs qu’une diagonale (par estimation visuelle, par déplacements réels ou imaginés pour comparer directement les longueurs, par mesure à l’aide d’une règle graduée, par reports, ... ou par des « théorèmes adultes » du genre « le chemin le plus court d’un point à un autre est celui qui suit une ligne droite » ... ).

- Trouver le parcours le plus court pour chaque fleur, en tenant compte des critères précédents.

- Comparer les quatre parcours minimaux obtenus : « chemin des jonquilles », « chemin des marguerites » ... (toujours à l’aide des critères précédents) en s’aidant éventuellement d’une disposition en tableau :

- Remarquer que parmi les trois chemins de 6 tronçons, la longueur des chemins des marguerites et des lilas sont les mêmes alors que celui des roses n’emprunte qu’une diagonale au lieu de trois pour les deux autres. En déduire que le chemin des roses est le plus court de ces trois chemins.

- Comparer finalement le chemin des roses et celui des jonquilles et constater que, lorsqu’on retire à chacun les 5 côtés de carrés, il reste deux côtés pour les jonquilles contre une diagonale pour les roses et que c’est donc le chemin des roses le plus court.

Ou : mesurer tous les parcours avec une règle et comparer les longueurs.

Ou : reporter les différentes longueurs de chaque parcours pour obtenir un segment de même longueur que le parcours total ; puis comparer directement ou indirectement les longueurs des segments obtenus.

Notions mathématiques

déplacement, réseau, distance, mesure, comparaison de longueurs

Résultats

16e rallye

Points attribués sur 118 classes de Suisse romande:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Solution correcte (roses) avec explications du raisonnement suivi ou détails de la comparaison des tracés
• 3 points: Solution correcte avec explications incomplètes ou peu claires
• 2 points: Solution correcte sans explications
  ou l’un des quatre parcours n’est pas minimal (celui des roses par exemple) et entraîne une erreur dans la réponse finale, mais en conservant la cohérence du raisonnement
• 1 point: Début de recherche cohérente avec différenciation entre la longueur d’une diagonale et celle d’un côté de carré
• 0 point: Incompréhension du problème

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