Le carré de Léa

Identification

Rallye: 17.II.11 ; catégories: 5, 6, 7 ; domaine: GP
Familles:

• DEC - Découper et/ou assembler des figures
• IF - Identifier des figures
• IF/RC - Reconnaître et construire des figures élémentaires

Remarque et suggestion

Résumé

A partir d’un puzzle de 10 pièces disposées en parallélogramme (sur une trame de cinq carrés alignés), reconstituer un losange, puis un trapèze rectangle avec 8 de ces pièces et finalement un carré avec les 10 pièces.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre quelles sont les figures à découper.

- Découper les figures et essayer de les accoler en faisant coïncider les côtés égaux.

- Se rendre compte qu’avec 8 figures :

• on peut obtenir le losange en construisant, par exemple, d'abord un triangle rectangle (avec un trapèze et un triangle rectangle non isocèle) et en procédant ensuite par symétrie ; ou bien, en partant d'un hexagone convexe (obtenu avec les quatre trapèzes rectangles) et en ajoutant ensuite, convenablement, les quatre triangles rectangles non isocèles ;

• on peut construire deux trapèzes rectangles différents, par exemple, en fixant son attention sur le moyen d’obtenir son côté oblique (par alignement des côtés obliques de deux trapèzes ou des hypoténuses de deux triangles rectangles du même type) et en complétant convenablement.

Ou bien : remarquer qu'en réunissant correctement deux à deux les figures données, on obtient cinq carrés (l'un formé de deux triangles rectangles isocèles, les quatre autres formés d'un triangle rectangle non isocèle et d'un trapèze). Avec quatre de ceux-ci, on forme deux types de puzzles carrés de 8 pièces, le second utilisant les deux triangles rectangles isocèles (cf. a et b)

- Dans le cas a, on peut former le losange en disposant correctement les quatre triangles rectangles non isocèles, comme sur la figure (le quadrilatère obtenu est bien un losange, car il a deux axes de symétrie orthogonaux, et 4 côtés de même longueur).

- Dans le cas b, on peut former le grand trapèze rectangle en disposant correctement un des deux triangles rectangles isocèles, comme sur la figure (le parallélisme et les angles droits sont assurés par la configuration des 4 carrés initiaux).

- ou bien obtenir un autre trapèze en assemblant deux trapèzes rectangles avec deux triangles rectangles non isocèles, complétés par un trapèze et les deux triangles rectangles isocèles formant un carré comme sur la figure.

- Se rendre compte qu’avec les 10 figures, on peut obtenir le grand carré en disposant en « position centrale » un petit carré formé des deux triangles rectangles isocèles et en le complétant par les quatre trapèzes rectangles « en tournant » autour du carré central et en terminant avec les quatre triangles rectangles restants, comme sur la figure.

Notions mathématiques

puzzle, triangle, trapèze, comparaison, longueur, angle, rotation, symétrie axiale

Résultats

17.II.11

Points attribués sur 2039 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse complète, avec les figures recomposées avec précision (dessins ou collages) avec au moins un des deux trapèzes
• 3 points: Deux figures bien recomposées
• 2 points: Une figure correctement recomposée
• 1 point: Construction avec précision d’au moins une des figures demandées (losange, trapèze rectangle, carré), en utilisant un nombre de pièces différent de la réponse attendue, mais supérieur à 2
• 0 point: Incompréhension du problème

Exploitations didactiques

Ce problème peut mettre en évidence plusieurs conceptions erronées liées aux figures géométriques:

- confusion entre figures convexes et concaves,

- confusion entre rectangle et carré,

- confusion entre carré en position "non standard" (côtés non parallèles aux bords de la feuille) et losange,

- trapèze isocèle considéré comme trapèze rectangle,

- parallélogramme considéré comme un trapèze.

En fait, nous avons trouvé ces types de conceptions erronées dans plusieurs copies de différentes sections.

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