RMT 2005

Identificazione

Rally: 13.I.02 ; categorie: 3, 4 ; ambiti: GP, GM
Famiglie:

• CA - Confrontare aree
• CA/P - Confrontare aree su una quadrettatura
• LA - Utilizzare misure di lunghezze e aree

Remarque et suggestion

Sunto

Confrontare l’area di figure, disegnate su una griglia rettangolare, nelle quali appaiono dei quadrati (mezzi-rettangoli), triangoli rettangoli isoceli(mezzi-quadrati) e trapezi rettangoli ; in un contesto di lettere e cifre da dipingere su un muro.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Gli alunni devono rendersi conto che la quantità di pittura dipende dall’ampiezza delle superfici da ricoprire e che bisogna trovare un modo per confrontarle : per ritaglio e ricoprimento , per pavimentazione con una o più forme e, nel caso d’uso di un’ unità-pavimentazione, per conteggio.

Per prendere in conto l’area, alcuni alunni dovranno rifiutarel’idea di misurare il contorno delle cifre da dipingere (conflitto area/perimetro) o accontentarsi di contare le parti di mattoni(conflitto numero/area delle parti).

Fra le unità più naturali per questo contesto, c’è il« mattone » (rettangolo) e il « mezzo-mattone» (quadrato), ma, in un caso come nell’altro, bisognerà tener conto dei triangoli (mezzi-quadrati) e dei trapezi (3/4 di mattoni o 1quadrato e mezzo) che bisognerà convertire in mattoni o in quadrati.

Scelta l’unità, ben comprese le regole di cambio, bisogna ancora organizzare il conteggio in maniera rigorosa poichè le diverse forme che appaiono sono numerose e disposte differentemente nel « 2 » e nel « 5 » che rimangono da dipingere.

Strada facendo, si puo sottolineare che è inutile calcolare l’area degli « 0 », facendo appello a un principio di equivalenza, ancora intuitivo.

Non resta che concludere: spiegare che è Mauro ad usare più pittura, dicendo per esempio che il« 2 » corrisponde a 17 mattoni rettangolari mentre il « 5 » corrisponde a 18 di questi mattoni.

Nozioni matematiche

Area, unità d’area, quadrati, rettangoli, triangolo isoscele rettangolo, trapezio rettangolo, conteggio

Risultati

13.I.02

Punteggi attribuiti su 402 elaborati di 10 sezioni

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: La riposta giusta (Mauro) con l’area del « 2 » e del « 5 » e la spiegazione del procedimento per ottenerle (se sono indicate anche le aree delle cifre« 0 »:42 quadretti,la risposta viene considerata corretta)
• 3 punti: La risposta corretta con le aree ma senza spiegazione oppure risposta corretta e spiegata con un errore nel calcolo dell’area dello « 0 »
• 2 punti: Un solo errore nel conteggio delle unità d’area del « 2 » o del « 5 », con spiegazione e risposta coerente.
• 1 punto: La risposta giusta (Mauro), senza spiegazione sulla determinazione dell’area.
• 0 punto: Incomprensione del problema o presa in considerazione del perimetro, stima ad occhio.

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

La tabella qui sopra mostra che il compito è difficile nelle condizioni di somministrazione delle prove del RMT : senza la presenza dell’insegnante e senza alcun aiuto esterno.

Un esame dettagliato di 68 copie della Svizzera Romanda permette tuttavia d’attenuare l’impressione di insuccesso legato all’elevata percentuale di« 0 punti » attribuiti corrispondenti a: Incomprensione del problema o presa in considerazione dei perimetri, stima visuale.

Su queste copie sono state rilevate quattro procedure :

1. Conteggio dei mattoni (circa nella metà dei casi)

C’è la procedura « esperta », attraverso la misura dell’area secondo la stessa unità:il « mattone » rettangolare o il quadrato (mezzo-rettangolo). Questa esige più « conversioni » di unità : due triangoli per un quadrato, due quadrati per un rettangolo, un trapezio rettangolo e un triangolo per un rettangolo e un conteggio rigoroso.Di conseguenza, la metà di queste procedure è inficiata da errori di conteggio, in particolare da parte degli allievi più giovani.

2. Conteggio di parti di mattone all’interno dei mattoni (circa in un terzo delle copie)

In queste procedure, i numeri di rettangoli,di quadrati, di triangoli e di trapezi sono addizionati, senza tener conto della “grandezza” delle figure, vale a dire senza l’individuazione di un ‘unità comune.

Questo fascino per il« numero dei pezzi» è naturale tra gli 8/9 anni. E’ il modo più semplice di calcolare, evidentemente inadeguato in questo caso,ma efficace in numerose situazioni incontrate precedentemente.E’ agli allievi stessi che ritorna il compito di rifiutare questo conteggio elementare per accostarsi ad un nuovo concetto:l’ area, legato all’«estensione » o alla « grandezza » dei pezzi.

3. Confronto per sovrapposizione/scomposizione o per ricoprimento progressivo (nel10% dei casi) In queste procedure non ci si interessa all’aspetto numerico della misura. Non ci sono dei numeri di parti o d’unità. Si taglia o si colorano dei pezzi identici da una parte e dall’altra , fino a veder apparire un resto da un lato allorchè l’altro è interamente colorato.

4. Presa in considerazione dei perimetri delle figure per determinare la quantità di pittura (nel10% dei casi). Fra queste procedure, ci sono le misure delle lunghezze con un righello graduato e un’ addizione corrispondente ma anche il conteggio dei segmenti del perimetro:

Si sono contati i tratti del 5 e del 2 e si è visto che il 5 aveva più tratti. Siccome i due 0 sono uguali non si sono contati e allora si è visto che il 5 aveva 15 tratti. E il 2 ha 14 tratti. E’ Mauro che dipinge di più !

Indicazioni didattiche

Il problema RMT 2005 è stato concepito specificatamente per una utilizzazione in classe, dopo la prova, per fissare il concetto di misura dell’area e, per far prendere coscienza agli allievi della necessità di un’unità comune.

La risposta « E’Mauro che utilizzerà più pittura» non ha interesse se non nel caso in cui entri in conflitto con l’altra risposta prevista : « E’ Sofia che utilizzerà più pittura poichè ci sono 27 pezzi nel« 2 » e soltanto 24 nel« 5 ». Si puo’ anche escludere un’utilizzazione del problema « senza intervento dell’insegnante» o « con una traccia scritta soltanto » e non si intravede altro che quella di una « messa in comune » delle soluzioni trovate dagli allievi o gruppi di allievi.

Le sperimentazioni di questo problema hanno mostrato in effetti che le due risposte « Mauro »-sulla base dell’unione di differenti parti di mattone- e « Sofia » con un semplice conteggio di parti- appaiono quasi sempre in seno ad una medesima classe, al livello 3 o 4 e anche al livello 5. I tentativi di misura dei perimetri delle due cifre 2 e 5, benchè lunghi e poco precisi,sono assai frequenti a questi livelli, con un uso non ragionato dello strumento che « funziona » cosi’ bene per le lunghezze: il righello.

In merito al problema “RMT 2005” e ad altri sulla medesima problematica, proposti in diverse prove del RMT e pubblicati in Atti ARMT e su la Gazzetta di Transalpino a seguito di diverse sperimentazioni in classe, si rimanda alla bibliografia.

Bibliografia

Anselmo B., Bisso C., Grugnetti L.: 2011 ‘Il rettangolo...non così evidente”, in La Gazzetta di Transalpino, n. 1, sito dell’ARMT: www.armtint.org

Bisso, C, Grugnetti, L..: 2007a, ‘Il ruolo dei problemi del RMT nella costruzione del concetto di area’, in L. Grugnetti, F. Jaquet, D. Medici, M. G. Rinaldi, I problemi del RMT nella didattica quotidiana/ les problèmes du RMT dans la pratique de la classe, Parma 2006, Sezione ARMT di Parma, ARMT, 25-36.

L. Bisso, C., Grugnetti, (a cura di): 2007b, ‘La costruzione del concetto di area con problemi del RMT’, in IBIDEM, 169-187.

Grugnetti, L., Bisso, C., Pretto, M., Iesu, N., Polo, M., Tanda, M. F.: 2006, ‘Aspetti didattici della “argomentazione” nei problemi del RMT’, in R. Battisti, R. Charnay, L. Grugnetti, F. Jaquet (Eds.), RMT : des problèmes à la pratique de la classe/RMT: dai problemi alla didattica quotidiana, Actes des journées d’études sur le Rallye mathématique transalpin, Bourg-en-Bresse 2004, Arco di Trento 2005, ARMT, IUFM de Lyon-Centre de Bourg-en-Bresse, IPRASE Trentino, 120-134;

Jaquet F., étudiants de la HEP Bejune de la classe de Gaggero A., (2005), « 13e Rallye mathématique transalpin, les problèmes de la première épreuve », Math-Ecole n°214 (21-33), Institut de mathématiques (Neuchâtel)

Jaquet F. (2010), Point de départ, Grand N n°86, 2010, IREM de Grenoble

Jaquet F. (2000), « Il conflitto aera-perimetro », L’educazione matematica, ed CRSEM, VI, 21, 2, (prima parte : n.2, 66-77, seconda parte : n.3, 126-143)

Jaquet F. (2007), « Ateliers de résolution de problèmes avec matériel », Vol I, ARMT.

Rouche N. (1992), « Le sens de la mesure », Formation Didier Hatier

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