Alignez-vous par trois

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Rallye: 21.I.18 ; catégories: 9, 10 ; domaine: GP
Famille:

• COG - Effectuer une construction géométrique

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver une disposition de 6 points, tels qu’un nombre maximum de droites différentes passent par exactement trois de ces six points. Même question avec 9 points.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

En observant les deux exemples, prendre conscience qu’on obtient davantage d’alignements de 3 points lorsque certains points appartiennent à plus d’une droite.

Avec 6 points, pour trouver un quatrième alignement, par rapport à la figure 2, il suffit par exemple de déplacer l’un des 3 points qui sont encore sur une seule droite (par exemple E de la figure 2) sur sa droite pour former un nouvel alignement (Figure 3) : On obtient ainsi une figure où chacun des 6 points appartient à deux alignements de 3 points.

- Pour placer 9 points, commencer par chercher quel est le plus grand nombre de droites qu’on peut obtenir avec 7 points, puis 8 points.

- Pour 7 points, partir du placement de 6 points, chercher où placer un 7e point de façon à faire apparaître un maximum d’alignements de 3 points. Pour cela, repérer des couples de points qui ne sont pas déjà alignés avec un troisième, par exemple (A, D) et (C, F) et placer G à l’intersection de ces deux droites. On obtient 6 alignements de 3 points. (Figure 4)

- Pour 8 points, continuer à partir du placement obtenu de 7 points en suivant la même démarche. Constater que les seuls couples de points qui ne sont pas sur un alignement de 3 points sont sur l’exemple (B, E), (B, G) et (E, G), que la seule possibilité est de placer un 8e point, par exemple H, sur l’une de ces droites. (Figure 5). On arrive ainsi à 8 points en 7 alignements de trois.

- Pour les 9 points, on peut tracer les deux autres droites passant par deux couples de points par lesquels ne passent pas encore de droites : (E; G) et (A ; H) sur l’exemple ci-dessous (Figure 6). On arrive ainsi au maximum : 9 points et 9 droites.

Ou : succession d’essais de placements inorganisés de 6 points d’une part, et de 9 points d’autre part, de façon à faire apparaître le plus possible de droites passant par 3 de ces points.

Notions mathématiques

géométrie, droite, points, alignements

Résultats

21.I.18

Points attribués sur 227 classes de 18 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse complète et optimale (oui, 4 droites pour 6 points et 9 droites pour 9 points), avec les deux dessins correspondants
• 3 points: Réponse non optimale (oui, 4 droites pour 6 points et 8 droites pour 9 points), avec les deux dessins correspondants
• 2 points: Réponse non optimale (oui, 4 droites pour 6 points et 6 ou 7 droites pour 9 points), avec les deux dessins correspondants
• 1 point: Réponse non optimale avec erreurs dans le placement des points (plus de 3 sur un alignement) ou le comptage des alignements
  ou seulement une réponse correcte pour 6 points avec dessin
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Attribution « 3 points » pour la moitié des classes, c’est-à-dire une réponse « non optimale » mais cependant bien proche de « l’optimale »

En attendant les analyses de copies il est difficile d’en dire plus, vu aussi le manque d’expérimentations sur ce thème des alignements et la diversité des questions.

Bibliographie

Adapté de Savez-vous planter des choux ? (03.F.07)

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