Rectangle à compléter

Identification

Rallye: 21.F.09 ; catégories: 5, 6, 7 ; domaines: GP, GM
Familles:

• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/CP - Comparer des aires et/ou des périmètres

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver les différentes dispositions pour compléter un rectangle, sur un quadrillage, constitué de cinq triangles de deux types, dont trois sont déjà dessinés : deux d’un type et un de l’autre.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Vérifiez que les deux triangles blancs ont la même aire (10, en carrés du quadrillage) que le triangle gris est plus grand (aire de 15 carreaux) et qu’il manque un triangle blanc et un triangle gris

- Observer le trapèze formé des trois triangles, voir qu’il est rectangle et que les deux triangles à ajouter ne peuvent l’être que sur la droite et que les deux triangles de gauche peuvent être reproduits à droite, par symétrie axiale pour former un rectangle (les deux triangles nouveaux sont isométriques à ceux de droite).

Ou, se rendre compte que tous les triangles ont la même hauteur (5 carreaux) et que leur aire ne dépend que de la longueur de leur base. Comprendre qu’un des deux triangles restant à dessiner doit avoir pour base 4 carreaux et l’autre 6 carreaux. En tirer éventuellement la deuxième disposition en constatant que deux triangles de même base et même hauteur peuvent avoir des formes différentes.

- En déduire que le rectangle doit avoir 12 carreaux de long avec, sur le côté supérieur, deux triangles avec un côté de 6 carreaux et sur le côté inférieur trois triangles ayant un côté de 4 carreaux de base.

- S’assurer qu’il n’y a pas de troisième solution

Ou : comprendre que pour que la frise soit rectangulaire, il faut lui ajouter un trapèze rectangle dont l’aire est égale à 10 + 15 = 25. Sa hauteur étant de 5, la somme des longueurs de ses bases doit être égale à 10. Déduire de la figure que les seules dimensions possibles qui respectent à la fois l’aire et la forme sont 4 et 6. Il faut ensuite partager ce trapèze en deux triangles. Deux possibilités pour faire apparaître deux triangles : tracer chacune des diagonales du trapèze. S’assurer que chaque triangle a respectivement pour aire 10 et 15.

Notions mathématiques

rectangle, triangle, aire

Résultats

21.F.09

Points attribués sur 195 classes de 22 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Les deux solutions avec explication du raisonnement (qui mentionne l’égalité des aires)
• 3 points: Les deux solutions sans explication, mais bien dessinées
  ou deux solutions bien expliquées, mais avec dessins imprécis
• 2 points: Une solution avec explication et bien dessinée
  ou deux solutions sans explications et avec dessin imprécis
• 1 point: Une solution sans explication
  ou début de raisonnement correct (par exemple, les deux triangles avec les aires correctes mais placés de telle façon que la figure soit un quadrilatère non rectangle)
• 0 point: Incompréhension du problème

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