Le carré de Joseph

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Rallye: 19.F.16 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaines: GP, GM
Familles:

• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer l'aire des 9 parties d'un carré de 20 cm de côté découpé par quatre droites, parallèles deux à deux, chacune partant d'un sommet pour aboutir au quart d'un côté à partir du sommet opposé.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre la construction de la figure à partir des données et en particulier le partage des côtés du carré en segments de 5 et 15 cm

- Reconnaître les quatre « grands » triangles rectangles de côtés 20 et 15 (comme ADF) ; voir qu’ils sont égaux (Le sommet de l’angle droit de chacun de ces triangles est un sommet du carré, on passe de l’un à l’autre par des rotations élémentaires d’un quart de tour, d’un demi-tour, …). 

- Ces considérations devraient permettre aux élèves de se convaincre que les quatre segments d’origine sont parallèles deux à deux et perpendiculaires deux à deux, que la figure centrale est un carré et que les quatre autres parties sont des trapèzes rectangles.

Remarquer encore la présence de deux parallélogrammes égaux à (BDGH).

Toutes les constatations peuvent évidemment être « démontrées » rigoureusement à partir des isométries, de l’égalité ou de la similitude des triangles, mais cette tâche n’est pas requise ici, vu l’âge des élèves et la diversité de leurs programmes scolaires.

Pour le calcul des aires des neuf parties, les procédures sont très nombreuses. Par exemple :

- Calculer la mesure de l’hypoténuse des « grands » triangles  par la relation de Pythagore 152 + 202 = 625 et √625 = 25 (en cm) puis constater que, connaissant les côtés d’un parallélogramme: 5 et 25 (en cm) et l’une de ses hauteurs : 20 (en cm) on peut calculer mentalement l’aire de cette figure 5 x 20 = 100 (en cm2) puis en tirer l’autre hauteur 4 (en cm) parce que 4 x 25 = 100. À partir de ces résultats, on calcule facilement l’aire du carré central : 16, celle des quatre trapèzes (100 -16)/2 = 42 et l’aire des 4 petits triangles rectangles par soustractions et division par 4 : [400 – (200 – 16)]/4 = 54 (toutes en cm²)

Ou, reconnaître la similitude entre les « petits triangles » et les « grands triangles » à partir des angles égaux et calculer par proportionnalité les mesures des côtés des petits triangles à partir de celles des grands) 25, 20, 15 ––> 15 ; 12 ; 9. On en tire alors les aires des petits triangles (9 x 12)/ 2 = 54 puis celle du petit carré par différence entre l’aire du grand carré et l’aire des huit autres figures (quatre trapèzes et quatre petits triangles) : 400 - [(4 x 42) + (4 x 54)] = 16. (en cm²) 

Ou, sans faire appel à la relation de Pythagore, s’apercevoir que le «  triangle moyen » est composé d’un « petit triangle » et d’un trapèze rectangle, ce qui suggère un partage en quatre « bandes » ; puis procéder par pavage à l’aide de triangles unités de 5 cm d’hypoténuse, puis par calcul mental :

- l’aire du « petit triangle est 9, l’aire du trapèze, en gris, est 7, l’aire du « grand triangle » est 9 + 7 + 9 = 25 (en triangles unités) = 150 (en cm2),ce qui permet de dire qu’un triangle unité vaut 6 cm2 et que l’aire des petits triangles est 54 et celle des trapèzes 42 (en cm²), etc.

- Donner les réponses : (en cm²) : 16 pour le carré central, 42 pour les quatre trapèzes, 54 pour les quatre « petits triangles ».

Ou, faire un dessin précis (en vraie grandeur) et en tirer les réponses par mesurage puis par calcul. (Procédure qui n’est pas suffisante du point de vue mathématique.)

Notions mathématiques

triangle, polygone, isométrie, similitude, Pythagore, déduction

Résultats

19.F.16

Points attribués sur 146 classes:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponses correctes (16, 54, 42, en cm2) avec le détail des calculs pour chaque figure (les mesures pour les calculs ne sont pas trouvées par mesurage sur un dessin)
• 3 point: Réponses correctes (16, 54, 42) avec des calculs incomplets ou peu clairs ou avec des mesures prises sur un dessin
  ou une seule erreur de calcul avec explications claires (les réponses sont cohérentes avec cette seule erreur)
  ou deux réponses correctes bien expliquées
• 2 points: Réponses correctes (16, 54, 42) sans explications
  ou plusieurs erreurs de calcul avec explications claires et réponses cohérentes
  ou deux réponses correctes avec des calculs incomplets ou non clairs
• 1 point: Une seule réponse correcte
  ou début de raisonnement cohérent (avec détermination de l’hypoténuse des « grands triangles » 25)
• 0 point: Incompréhension du problème

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