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La spirale

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Rallye: 19.F.17 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: GP, GM
Familles:

Résumé

Déterminer la longueur d'une spirale constituée de quarts de cercles, chacun inscrit dans un carré, l'ensemble formant rectangle de périmètre 136 cm.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Observer le dessin et les carrés suivant la « spirale » : les deux petits carrés unités, puis des carrés de 2, 3, 5, 8, 13, … de côté, ce qui permet de constater que la largeur et la longueur du rectangle sont respectivement 13 et 21 (13 + 8) et le périmètre est 2 x (13 + 21) = 68 (en côtés du carré unité). (Pour ce calcul, il faut faire appel systématiquement à l’addition de segments et au report de mesures d’un côté dans les carrés successifs). En déduire que le côté du carré unité mesure 136/68 = 2 (en cm).

Ou par voie algébrique, avec par exemple x comme côté du carré unité, 2x, 3x … 13 x, les mesures des carrés successifs, l’équation (21 x + 13 x) = 136, a pour solution x = 2

- Calculer la longueur des quarts de cercle et les additionner: π/2 + π/2 + 2π/2 + 3π/2 + 5π/2 + 8π/2 + 13π/2 = 33π/2 ou encore 16,5 π (en côtés de carrés unités) ou 33π (en cm) ou une approximation comme 103,7 cm ou 1037 mm. (On acceptera aussi 103,6 cm et 1036 mm pour les élèves qui auraient utilisé 3,14 comme approximation de π.

Notions mathématiques

addition, multiplication, distributivité, proportionnalité, carré, rectangle, périmètre, cercle, équation du premier degré associativité, commutativité, distributivité, longueur, spirale, Fibonacci, nombre d'or

Résultats

19.F.17

Points attribués sur 92 classes:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 8	21 (41%)	9 (18%)	4 (8%)	6 (12%)	11 (22%)	51	1.55
Cat 9	9 (41%)	3 (14%)	3 (14%)	1 (5%)	6 (27%)	22	1.64
Cat 10	6 (32%)	2 (11%)	1 (5%)	2 (11%)	8 (42%)	19	2.21
Total	36 (39%)	14 (15%)	8 (9%)	9 (10%)	25 (27%)	92	1.71
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Réponse exacte (33π ou 103,7 ou 103,6 en cm), avec explications claires et complètes
3 points: Réponses exactes avec explications peu claires ou incomplètes
ou une erreur ou imprécision dans l’approximation (avec plus d’un chiffre après la virgule entre 103,6 et 103,7), avec explications
2 points: Réponses exactes sans explications
ou erreur (due par exemple aux additions des longueurs des sept arcs)
ou réponse en côtés du carré unité (33/2π ou 16,5π) avec explications
1 point: Début de raisonnement correct
0 point: Incompréhension du problème

Banque de problèmes du RMT