I quadrati di Antonio (I)

Identificazione

Rally: 21.II.07 ; categorie: 5, 6 ; ambiti: GP, GM, OPN
Famiglie:

• ADD - Cercare una somma o una differenza di numeri
• COG - Effettuare una costruzione geometrica
• RD - Ricercare o utilizzare dimensioni

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Sunto

Trovare il perimetro del quadrato più grande possibile unendo 15 segmenti rettilinei, 6 di lunghezza 1 e 9 di lunghezza 3

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

Capire che, se si prende come unità di lunghezza quella di un bastoncino rosso, vi sono 14 bastoncini lunghi 1 (i rossi) e 10 lunghi 3 (i blu).

Capire che, con questa unità, la somma delle lunghezze di tutti i bastoncini è 44 (1 × 14 + 3× 10 = 44).

Dedurne che il lato del quadrato più grande potrebbe avere per lunghezza 11 e provare a realizzare quattro volte questa lunghezza con i bastoncini, per tentativi più o meno sistematici.

Concludere che è possibile ottenere il quadrato di lato 11 con tre bastoncini di lunghezza 3 (lunghi) e due di lunghezza 1 (corti) su tre lati e uno lungo e otto corti sul quarto lato, oppure tre lunghi e due corti su due lati e due lunghi e cinque corti sugli altri due lati.

Oppure, procedere tentando di costruire concretamente un quadrato con tutti i bastoncini, dopo aver ritagliato delle strisce di carta della stessa lunghezza dei segmenti disegnati. Oppure, procedere per tentativi e disegnare quadrati utilizzando un numero sempre maggiore di bastoncini.

Nozioni matematiche

misura, lato, perimetro, quadrato, segmento, unità, lunghezza, maximum, addizione

Risultati

21.II.07

Su 1490 classi di 23 sezioni partecipanti alla prova II del 21° RMT,

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Disegno di un quadrato di lato 7 con indicazione dei bastoncini e spiegazione chiara che è il più grande possibile (citata esplicitamente l’impossibilità di costruire il quadrato di lato 8)
• 3 punti: Disegno di un quadrato di lato 7 con indicazione dei bastoncini ma senza spiegazione che è il più grande possibile
• 2 punti: Disegno di un quadrato di lato 7 senza indicazione chiara dei bastoncini utilizzati
• 1 punto: Disegno di un quadrato di lato 6 (che quindi non è il più grande possibile)
  oppure disegno di un quadrato di lato 8 che non rispetta tutte le condizioni
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Secondo i criteri qui sopra, solo la metà delle risposte sono corrette (quadrato di lato 7) con solo un quarto 13% ben giustificate.

In attesa d’analisi a posteriori di elaborati degli allievi, non si può dire di più su ostacoli ed errori.

Indicazioni didattiche

Un'altra versione del problema è stata proposta per le categorie 7 e 8, con 24 bastoncini (10 sono grigi e 14 sono bianchi) I quadrati di Antonio (II)

Il compito era un po’ più complesso ma, nonostante una differenza di due anni nell’età degli allievi, una piccolissima minoranza (circa il 15%) ha trovato i due rettangoli richiesti con il lato di 20 bastoncini.

Il problema, in una o l'altra delle sue versioni, è quindi difficile, probabilmente a causa del suo compito insolito e disorientante o delle condizioni implicite del suo enunciato.

Richiede una messa in comune dei primi risultati, dopo 5-10 minuti di ricerca autonoma, per chiarire i malintesi e consentire agli allievi di appropriarsi del compito tenendo conto dei vincoli nel mettere insieme segmenti che non si possono tagliare o lasciar sporgere.