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Banque de problèmes du RMTgp89-fr |
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- En notant par exemple r et R les rayons des deux cercles, on peut exprimer la relation entre le deux longueur des deux cercles sous la forme 2πR = 2πr + 10.
- Comprendre qu’à partir de l’expression précédente, on doit calculer la différence entre R et r : 2 π R – 2 π r = 10 ; et en déduire 2 π (R – r) = 10, donc (R – r) = 5/π, et calculer 5/π, environ 1,6 (en cm). Se rendre compte que cette procédure est générale et vaut quel que soient les rayons des cercles en jeu.
Ou bien, procéder avec quelques exemples à partir de valeurs attribuées à la longueur du cercle de Luc, dont on déduit la longueur du cercle de Matteo qui mesure 10 cm de plus. Calculer ensuite les rayons de l'un et de l'autre cercle, puis la différence entre les rayons :
par exemple, supposons que la longueur du cercle de Luc est C = 100 cm, celle du cercle de Matteo est alors C’ = 110 cm, d’où r = 100/2π (environ 15,9 cm) et R = 110/2π (environ 17,5 cm). Obtenir ainsi la distance entre les deux cercles en considérant les valeurs 17,5 et 15,9 des deux rayons, ce qui donne 1,6 cm.
Un autre exemple pourrait être de considérer ensuite C = 200, C’ = 210, d’où r = 200/2π (environ 31,8) et R = 210/2π (environ 33,4), pour arriver à obtenir encore la même distance entre les deux cercles.
Si on s’arrête à un seul exemple, on ne se rend pas compte que la procédure est générale et que la réponse, « apparemment » correcte, est en quelque sorte « abusive ».
Avec plus d'un exemple, on peut se douter que quels que soient les rayons des cercles en jeu, dans les conditions de l'énoncé, leur distance est toujours la même.
Points attribués sur 258 copies de 8 sections:
Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Cat 9 | 71 (49%) | 18 (12%) | 23 (16%) | 14 (10%) | 19 (13%) | 145 | 1.26 |
Cat 10 | 37 (33%) | 6 (5%) | 13 (12%) | 17 (15%) | 40 (35%) | 113 | 2.15 |
Total | 108 (42%) | 24 (9%) | 36 (14%) | 31 (12%) | 59 (23%) | 258 | 1.65 |
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. |
* ou bien réponse erronée due à une erreur de calcul
Les « 3 points » qui attestent d’une explication basée sur plus d’un exemple sont peu nombreux ; alors qu’il semble qu’il y a un peu plus de copies qui ne font état que d’un seul exemple.
Una partie importante de copies blanches révèle les difficultés à affronter un problème où il y a un « manque » apparent de données. en effet, ceci se révèle être l’obstacle majeur à la résolution du problème.
Un usage opportun de ce problème en classe, avec une mise en commun des procédures, mais aussi des « abandons », est une belle occasion d’apprentissage : si le recours à des exemples peut faire entrevoir une solution, il ne la justifie cependant pas, il est alors nécessaire d’apprendre à généraliser une procédure.
Il serait intéressant à ce propos de traiter des problèmes qui donnent une certaine réponse pour plusieurs valeurs numériques et, à partir d’un certain point, contredisent la réponse précédente.
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