Triangles envolés

Identificazione

Rally: 22.II.05 ; categorie: 3, 4, 5, 6 ; ambito: GP
Famiglia:

• DEC - Découper et/ou assembler des figures

Remarque et suggestion

Sunto

Décomposer un triangle rectangle isocèle en triangles égaux entre eux qui lui sont semblables, dans le rapport 1/3 et en déterminer le nombre

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Percevoir les caractéristiques des triangles d’après les figures et le texte : ce sont tous des triangles rectangles isocèles, les longueurs des côtés des grands triangles valent trois fois celles des côtés des petits triangles.

- Se rendre compte que la tâche revient à décomposer le grand triangle en petits, et qu’il faut trouver combien on peut placer de petits triangles dans le grand, afin de déterminer le nombre de ceux qui se sont envolés.

- Il y a de nombreuses manières de procéder. On peut par exemple découper des petits triangles pour recouvrir le grand triangle, par décalque ou par dessin de proche en proche et découvrir qu'il contient 9 petits triangles ; ou bien on peut dessiner une trame triangulaire sur le grand triangle (il y a plusieurs possibilités) et compter les unités.

Le dessin de proche en proche ou par décalque exige de la précision, le respect des angles droits et du parallélisme d’un triangle à l’autre, la perception des rotations et translations nécessaires. Le dessin d’une trame exige une perception d’ensemble du pavage.

Nozioni matematiche

triangle, triangle rectangle, triangle isocèle, équivalence, décomposition, similitude, rapport

Risultati

22.II.05

Points attribués sur 2539 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte : « 5 triangles envolés » et un dessin précis de la répartition
• 3 points: Réponse correcte et un dessin imprécis de la répartition
  oppure réponse « 9 triangles » avec un dessin précis
• 2 points: Réponse « 5 triangles envolés » sans dessin
• 1 point: Réponse « 9 triangles » sans dessin
• 0 point: Autre réponse ou incompréhension du problème

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Sur près de 250 copies des sections de CA et SR :

- Environ 70 à 80% les copies font apparaître les petits triangles, sur un demi-carré, ou sur le carré entier. Parfois (moins de 10% des copies) il s’agit d’un collage de petits triangles découpés ou du report du contour d’un petit triangle découpé puis déplacé dans des positions successives.

Dans la majorité des cas, on se rend compte que les figures ont été dessinées, à la règle, après les mesures ou reports nécessaires pour assurer l’isométrie des petits triangles. On relève une progression, de la catégorie 3 à la catégorie 6, dans la précision des dessins et le respect des directions (parallélisme et perpendicularité).

- Les figures obtenues par dessin font apparaître deux procédures :

• la première par « trame triangulaire » (dans 15 % des copies), conduisant au réseau de la figure 1.
• la deuxième et la plus fréquente par « juxtapositions successives » (dans 35 % des copies) amenant à des pavages comme ceux des figures 2 et 3. Dans ce cas on constate parfois un report progressif des imprécisions pouvant entraîner des décomptes erronés.

- Pour accéder à la solution correcte, il faut évidemment observer la correspondance des côtés des petits et du grand triangles : les côtés des angles droits doivent coïncider ou être parallèles entre eux, les hypoténuses doivent aussi coïncider ou être parallèles entre eux.

- Si les élèves n’observent pas cette correspondance et placent des hypoténuses de petits triangles sur des côtés de l’angle droit du grand, ils n’arrivent à placer que 8 petits triangles dans le grand. Cette erreur apparaît dans 14% des copies. figure 4.

L’erreur n’est pas très visible : l’hypoténuse d’un petit triangle est √2 = 1,414… proche du demi-côté du carré qui mesure 1,5.

- Sur les copies examinées, on ne relève aucune trace explicite de réflexion sur l’aire des triangles, ni sur le rapport 3, ou sur la relation multiplicative 3 x 3 = 9.

Indicazioni didattiche

Le problème est potentiellement intéressant pour la confrontation entre les figures pavées de 9 triangles et celles de 8 triangles. Le dessin, ou même le découpage, ne permet pas de décider entre les deux pavages. Un débat est indispensable pour se convaincre qu’on est en présence de triangles de grandeurs différentes occupant le même espace, (avec 8 triangles ou avec 9 triangles, évidemment plus petits) puis pour constater que ce sont trois côtés des angles droits des petits qui correspondent à un côté de l’angle droit du grand. (Selon l’âge des élèves, on peut aussi faire intervenir les aires et les diagonales dans l’observation des figures où apparaissent des petits carrés (9 et 8) dans le grand carré. Les aires des petits carrés seront alors respectivement 1 et 1,125, les côtés 1 et ≈1,12) avec 4 petits carrés on peut former un autre carré d’aire 2, de côté ≈1,4 ou un carré d’aire 4,5 de côté ≈ 2,1, etc)

L’exploitation va donc s’étendre aux réflexions sur la précision des mesures.

Une autre connaissance à introduire est le lien entre le rapport des côtés 1 ou 1/3 et le rapport des aires 9 ou 1/9.

D’autres exploitations sont aussi possibles sur les différents pavages et la trame triangulaire réalisé par celui de la figure 1.

Per andare più lontano

Extraits de l'article A propos de triangles (Math-Ecole 222, 2014):

Sur les 145 copies de la section de Suisse romande, 119 (80%) font apparaître les petits triangles dessinés sur le grand. Dans une dizaine de cas, il s’agit d’un collage effectif de pièces découpées ou du report du contour d’un petit triangle, déplacé dans des positions successives.

Dans la majorité des cas, on se rend compte que les figures ont été dessinées, à la règle, après les mesures ou reports nécessaires pour assurer l’isométrie des petits triangles. On relève une progression, de la catégorie 3 à la catégorie 6, dans la précision des dessins et le respect des directions (parallélisme et perpendicularité).

Lorsqu’on s’intéresse de plus près aux dispositions des triangles les uns par rapport aux autres, on observe quatre types de dessins :

I. Les triangles sont images les uns des autres par des translations et symétries centrales dans 25 copies (17 %). On pourrait penser que cette trame triangulaire atteste d’une compréhension globale de la répartition. C’est vraisemblablement le cas dans une partie des cas (exemple de la copie 1a) mais souvent le dessin révèle une construction triangle par triangle (copie 1b).

II. Des rotations d’un quart de tour ou des symétries axiales s’ajoutent aux transformations précédentes dans 51 copies (35 %), (copies 2a, b et c). Les triangles sont construits un à un semble-t-il. Là aussi la qualité des dessins varie sensiblement, la copie 2a est à la limite de l’erreur !

III. Des rotations de 45 degrés s’ajoutent aux transformations précédentes dans 20 copies (14%) (copies 3a, b, c). Dans ces cas, la réponse des élèves est « quatre triangles se sont envolés » contrairement aux « cinq triangles » des cas précédents.

Il faut se « frotter les yeux » pour comprendre d’où vient cette réponse, car les dessins sont très précis (copies 3b et 3c par exemple) et on trouve même des découpages et collages correspondants.

Un petit calcul permet de lever l’interrogation : la mesure de l’hypoténuse d’un petit triangle (√2 ≈ 1,41) est proche de celle d’un demi-côté du carré, de 1,5. L’écart n’est visible que pour un œil exercé.

Personne n’avait prévu cette réponse lors de l’analyse a priori. Une partie non négligeable de la tâche de l’élève n’avait donc pas été envisagée : celle de respecter le parallélisme et/ou la perpendicularité entre les côtés des angles droits des petits triangles et les côtés des angles droits du grand.

IV. D’autres transformation, déformations, agrandissements, réductions apparaissent dans 23 copies (16%), où l’on constate souvent un report cumulatif des imprécisions pouvant entraîner des décomptes erronés.

Sur les 145 copies examinées, on ne relève aucune trace explicite de réflexion sur l’aire des triangles, ni sur le rapport 3, ni sur la relation multiplicative 3 × 3 = 9.

Finalement, comme pour tout problème du RMT, il y a des copies blanches ou non reçues, 26 sur 145 (18%) dans le cas des Triangles envolés. Il faut rappeler à ce propos que les élèves ont l’entière responsabilité de l’organisation du travail : répartition en groupes, partage des problèmes et résolution. Le maître seul peut connaître les raisons d’une copie blanche ou de son absence, en en parlant avec ses élèves après l’épreuve.

Bibliografia

Jaquet, F. 2014. A propos de triangles. Math-Ecole, 222, novembre 2014.

(c) ARMT, 2014-2024