La giusta divisione

Identificazione

Rally: 22.II.13 ; categorie: 7, 8, 9, 10 ; ambito: GP
Famiglie:

• CA - Confrontare aree
• CA/D - Confrontare aree con il ritaglio
• DEC - Ritagliare e/o assemblare figure

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Sunto

Suddividere un trapezio isoscele in due parti della stessa area mediante un segmento avente un estremo in un punto dato sulla base minore e l’altro estremo da determinare.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

(Estratto dell’analisi a priori del compito)

- Comprendere che per une divisione equa, occorre che le parti di Luca e Caterina abbiano la stessa area.

- Notare che il punto P è sulla base minore, ma non nel suo punto medio. - Comprendere che occorre tracciare un segmento PQ non perpendicolarmente alle basi, perchè in tal modo le due parti non avrebbero la stessa area.

- Chiamando A, B, C, D i vertici del trapezio, M il punto medio della base minore AD e N il punto medio della base maggiore BC, notare che MN, la mediana comune alle due basi del trapezio, lo suddivide in due trapezi simmetrici ABNM e MNCD.

- Con un compasso o mediante una misura precisa, riportare la lunghezza di PM a partire da N, per trovare il punto Q su BC, in modo che NQ = PM. I triangoli rettangoli PMO e QNO così formati hanno la stessa area. Dedurne che le parti ABQP e PQCD hanno la stessa area.

- Notare che PM e NQ sono parallele e della stessa lunghezza e dedurne che PNQM è un parallelogramma. Il punto Q su BC è dunque sulla parallela a PN condotta da M.

figure

Oppure, le perpendicolari alle due basi AD e BC tracciate da A e da D determinano due triangoli ABE e DFC della stessa area, in quanto simmetrici rispetto alla mediana MN. Capire che rimane da dividere il rettangolo AEFD in due parti della stessa area mediante il segmento PQ.

- Riportare la lunghezza AP per posizionare il punto Q su BC in modo tale che QF = AP. Dedurne che i due trapezi rettangoli AEQP e FDPQ hanno la stessa area, dato che hanno la stessa altezza e le basi della stessa lunghezza. Concludere che le parti ABQP e PQCD hanno la stessa area perché composti da parti di uguale area.

Nozioni matematiche

trapezio rettangolo, area, equivalenza, segmento suddivisione, mediana, altezza, base parallelogramma

Risultati

22.II.13

Punteggi attribuiti su 1628 elaborati di 20 sezioni

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Il punto Q ben individuato, mediante riporto di lunghezze o geometricamente o con misurazione, con spiegazione chiara della sua costruzione e del fatto che le aree delle parti ottenute sono uguali.
• 3 punti: Il punto Q ben individuato, con esposizione delle sua costruzione, senza giustificazione dell’uguaglianza delle aree
• 2 punti: Il punto Q apparentemente ben individuato, senza spiegazioni
• 1 punto: Inizio di ricerca utilizzando una simmetria o notando l’uguaglianza delle aree dei triangoli rettangoli ABE e DFC, ma senza suddivisione del rettangolo
• 0 punto: Incomprensione del problema