Le parquet

Identification

Rallye: 23.I.14 ; catégories: 7, 8, 9, 10 ; domaine: GP
Familles:

• LA - Utiliser des mesures de longueurs et aires
• LA/UA - Traiter des unités d'aires
• RD - Rechercher ou utiliser des dimensions
• RD/AP - Déterminer des aires et/ou périmètres

Remarque et suggestion

Résumé

Calculer le prix de l’ensemble des lames d’un parquet rectangulaire fait de lames rectangulaires toutes identiques. La disposition des lames est donnée par un dessin, on connait le périmètre du parquet et le prix des lames au mètre carré.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Observer la figure et percevoir ses régularités, déduites de l’isométrie des rectangles qui composent le pavage : la longueur des lames est le triple de leur largeur ; c’est la « relation clé » de la situation qui suggère de prendre la largeur d’une lame comme unité ou d’imaginer une trame carrée (quadrillage) sur laquelle est construit le pavage, chaque rectangle recouvrant 3 carrés unités de la trame.

- Dans cette perception de la trame ou de la largeur d’une lame comme unité, les dimensions de la pièce sont 10 et 15 en côtés de carrés-unités, le périmètre est 50 = (10 + 15) × 2 dans cette unité.

- Par proportionnalité : 50 (unités) <=> 15 (en m) détermine le rapport 15/50 ou 3/10 ou 0,3 et permet de déduire les dimensions de la pièce : 3 et 4,5 (en m).

- Passer ensuite à l’aire du parquet : 3 × 4,5 = 13,5 (en m²) et au prix des lames qui est 13,5 × 30 = 405 (en euro).

Ou, par une procédure algébrique, exprimer les dimensions par des lettres (par exemple x et y pour la largeur et la longueur des lames, puis substituer y par 3x pour aboutir à l’équation : 2(15x + 10x) = 15 puis 50x = 15).

Ou mesurer les dimensions sur un plan, celui de l’énoncé ou un autre réalisé en respectant les rapports, calculer le périmètre de la pièce sur le plan, en déduire l’échelle et déterminer par proportionnalité les dimensions réelles de la pièce, puis calculer le prix du parquet.

Ou procéder par essais.

Notions mathématiques

rectangle, périmètre, longueur, largeur, aire, unité, pavage, prix, proportionnalité

Résultats

23.I.14

sur 1872 classes de 21 sections

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (405 euro) avec explications complètes (transformation d’unité, dimensions, aire, prix)
• 3 points: Réponse correcte (405 euro) avec explications incomplètes
  ou une seule erreur de calcul dans la détermination des dimensions des lames avec une réponse erronée mais cohérente du prix total avec explications
• 2 points: Réponse correcte (405 euro) sans explications
  ou réponse voisine obtenue à partir de dimensions mesurées sur un dessin respectant les proportions
  ou calcul correct des dimensions mais oubli du calcul du prix total
• 1 point: Début de raisonnement correct (le rapport 3 entre dimensions des lames est mentionné, …)
  ou choix de dimensions ne correspondant pas à la figure, avec toutefois un périmètre de 15 m avec un calcul d’aire et de prix cohérent avec les dimensions choisies
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Sur 83 copies observées (de Suisse romande, catégorie 7 et 8), on relève :

• 40 réponses correctes (405 euros)
• 23 réponses « 375 euros »
• 5 réponses « 500 euros »
• 15 réponses allant de 300 à 1500 euros.

(De 4 à 2 points ont été attribués aux réponses correctes selon la qualité des explications)

Le 405 de la réponse correcte ne peut correspondre qu’à une aire de 13,5 par la relation 13,5 × 15 = 405. Par conséquent les dimensions du rectangle ont été calculées correctement dans ce cas, par une décomposition en unités communes, la largeur d’une lame dans la grande majorité des cas, et une application opportune de la proportionnalité pour passer de 50 (20 + 30) largeurs de lames à 15 mètres.

L’erreur la plus fréquente « 375 euros », vient d’une aire de 12,5 m² (12,5 × 15 = 375) qui elle même vient d’une longueur du rectangle de 5 m et d’une largeur de 2,5 m explicitement mentionnées sur la grande majorité des copies correspondantes, sans jamais l’expliquer, avec parfois des justifications du genre 5 + 2,5 = 7,5 et 7, 5 × 2 = 15 ou 15 : 2 = 7,5 et 5 + 2,5 = 7,5.

Il semble que les dimensions 5 m et 2,5 m ont été choisies d’après une estimation visuelle très approximative.

Parmi les autres erreurs on trouve souvent l’affirmation que trois lames (qui forment des carrés sur la figure) ont une aire de 1 m², ce qui devrait logiquement conduire à la réponse « 500 euros » mais n’a pas été observée sur les 5 copies avec cette réponse. Cette fausse estimation a en général été suivie de reconstruction de carrés avec les autres lames pour arriver à des aires comprises entre 15 et 18 « carrés » et des réponses entre 450 et 540 euros.

En résumé l’obstacle essentiel réside dans la prise en compte du rapport 1 : 3 entre la largeur et la longueur d’une lame, qui n’est pas formulé dans le texte mais qui doit se percevoir sur le dessin, par la nécessité d trouver une mesure commune de longueur: la largeur d'une lame.

Exploitations didactiques

L’intérêt du problème réside dans la prise en compte du rapport 1 : 3 entre la largeur et la longueur d’une lame permettant de trouver une unité commune de longueur: (la largeur d’une lame). La suite de la résolution se déroule de manière "linéaire" en disant intervenir la relation de proportionnalité permettant de passer des mesures selon l'unité commune aux dimensions en mètres, puis d'effectuer le calcul de l’aire et celui du prix.

Voir aussi les problèmes La table de jardin et La boîte qui sont à l'origine du problème Le parquet.

(c) ARMT, 2015-2024