Banca di problemi del RMT
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Dans l'écriture de la suite des nombres naturels à partir de 1, déterminer quel est le nombre dans lequel apparaît le chiffre 3 pour la vingt-cinquième fois.
- Comprendre qu'en écrivant la suite des nombres à partir de 1, chaque chiffre y apparaîtra plus d'une fois dès qu'on aura passé le nombre 9; en particulier que le chiffre 3, déjà écrit une fois dans le début de la liste donnée, réapparaîtra dans le nombre 13, dans 23, dans 30, 31, ...
- Comprendre qu'il faut compter le nombre de fois que l'on écrit le chiffre 3, mais que qu'il faut retenir le nombre qu'Isidore est en train d'écrire lors le la 25e apparition du chiffre 3, qui est la réponse au problème.
Il y a plusieurs manières d'organiser la recherche:
- écrire la suite des nombres naturels et y compter le nombre d'apparition du "3" au fur et à mesure de son écriture, pour constater que c'est à 131 qu'il faut s'arrêter,
- écrire la suite des nombres naturels par tranches, puis y compter les "3", et marquer le nombre contenant le 25e "3" (poursuivre la suite si le nombre de "3" n'est pas suffisant),
- écrire le début de la suite puis, pour se simplifier la tâche, n'écrire plus que les nombres qui contiennent des "3",
- écrire seulement les nombres contenant un "3"
Les procédures "en compréhension" évitant l'énumération sont peu probables chez de jeunes élèves comme, par exemple, identifier et distinguer les différentes positions du "3" dans les unités et dans les dizaines jusqu'à 100 (10 dans les unités, 10 dans les dizaines 20 au total) et se rendre compte qu'il manque encore 5 "3" et qu'on trouvera dans 103, 113, 123, 130 et 131.
chiffre, nombre, unité, dizaine, centaine, numération, comptage, position
Sur 139 classes de deux sections (Suisse romande et Cagliari):
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 12 (36%) | 10 (30%) | 2 (6%) | 5 (15%) | 4 (12%) | 33 | 1.36 |
| Cat 4 | 3 (7%) | 18 (43%) | 6 (14%) | 8 (19%) | 7 (17%) | 42 | 1.95 |
| Cat 5 | 10 (16%) | 21 (33%) | 5 (8%) | 12 (19%) | 16 (25%) | 64 | 2.05 |
| Totale | 25 (18%) | 49 (35%) | 13 (9%) | 25 (18%) | 27 (19%) | 139 | 1.86 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Deux procédures très proches conduisant à la réponse 131 ont été observées dans 54 des 139 copies examinées de Suisse romande et Cagliari.
1. Ecriture des nombres contenant le chiffre « 3 », jusqu’à 131
Les groupes de cette première catégorie ont presque tous écrit tous les premiers nombres contenant des « 3 », jusqu’à 131 : 3, 13, 23, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 43, ... , 93, 103, 113, 123, 130, 131. Dans certains cas, ils ont compté les chiffres « 3 » au fur et à mesure de leur écriture et se sont arrêtés sur le nombre 131. Dans d’autres cas, ils sont allés plus loin que 131, dans l’écriture, ont compté les « 3 » dans une deuxième phase, et ont effacé les nombres inutiles ou n’ont recopié que les nombres nécessaires.
Dans d’autres cas, on ne peut pas savoir si la liste présentée est celle d’origine ou s’il s’agit d’un extrait, recopié d’une feuille de brouillon.
- On a écrit tous les chiffres jusqu’à 131 et on a compté les 3. (3e)
- On a mis tous les chiffres avec 3 jusqu’à ce qu’il y ait 25 3. (4e)
- Nous avons écrit 25 fois le nombre 3. (3e)
- Per trovare la soluzione abbiamo scritto i numeri da 1 sino ad arrivare a 131 cosi ripentendo il numero 3 25 volte. E cosi siamo arrivati alla soluzione. (4e)
Un groupe s’est évité l’écriture fastidieuse de la suite des nombres naturels :
- On a pris un tableau avec les nombres jusqu’à 599 et on a cherché 25 numéros 3 et on est arrivé à 131 numéros 3. (4e)
2. Ecriture des nombres contenant le chiffre « 3 », et d’autres nombres en début de liste, avec arrivée à 131
Tous les nombres naturels sont écrits en début de la liste, jusqu’à 12, 22, 29, généralement, ceux contenant des « 3 » sont entourés ou mis en couleur, puis les élèves n’écrivent plus que ceux-ci.
Dans les erreurs, on note:
- des oublis ou des reports imprécis,
- la non distinction des deux chiffres "3" du nombre 33, compté une seule fois et aboutissant à la réponse 132,
- des réponses proches comme 133,
- des oublis de 131, 132, 134, ... 139, (tous ceux de la dizaine de 130 à 139, à l'exception du 133)
Dans les "incompréhensions du problème, on relève la réponse 75 dans plus de 10 % des copies, due à l’expression « vingt-cinquième fois » de l’énoncé.
- Il est en train d’écrire 75 parce que 3 x 25 = 75. On a pris la calculette et on a calculé 25 + 3 = 28, 25 x 3 = 75. (3e)
- 3 x 20 = 60 60 + 5 + 5 + 5 = 75 vrai.
- On a fait 25 x 3 = 75 parce que Isidore écrit 3 pour la 25ième fois. (5e)
- Abbiamo fatto l’operazione 3 x 25 perchè Isidoro ripeteva per 25 volte il numero 3. (5e)
Pour plus de détails, voir l'article en bibliographie.
Les résultats précédents permettent non seulement de constater que les savoirs mathématiques nécessaires à la résolution du problème ne sont pas vraiment disponibles pour une majorité de groupes d'élèves et, par conséquent ouvrent une piste intéressante de travail en classe afin de les reconstruire à un niveau plus élevé de conceptualisation.
En reprenant le dénombrement des chiffres "3" bien au-delà de 25 apparitions, la procédure consistant à écrire la liste de tous les nombres sur laquelle on compte un à un les objets recherchés va se révéler fastidieuse et peu efficace en raison des risques d'oublis ou erreurs de comptage. Il faudra donc trouver une manière de procéder plus sûre en observant les régularités de l'apparition des "3": dans les unités à chaque passage d'une dizaine à la suivante; dans les dix nombres successifs ayant "3" comme chiffre des dizaines; puis dans chaque nombre de la troisième centaine, etc.
On met alors en évidence les propriétés structurelles de la suite des nombres naturels écrits en base dix: les apparitions du chiffre "3" dans les unités, les dizaines, les centaines ... . Ce passage de l'énumération à la généralisation semble pouvoir s'effectuer progressivement dès la catégorie 3 et se poursuivre jusqu'en catégorie 5, voire au-delà.
Cette construction peut s'effectuer à partir d'autres problèmes analogues, comme par exemple Isidore et le feuilleton des entiers (25.II.03).
Jaquet, F. (2003). Regolarita’ nella successione dei numeri naturali: non così evidente per i giovani allievi! / Régularités dans la succession des nombres naturels : pas si évident pour les jeunes élèves ! L’Educazione Matematica, n° 1 (2003), pp 6-15.
Jaquet, F. (2007). Régularités dans la succession des nombres naturels : pas si évident pour les jeunes élèves ! GRAND N, n° 79 (2007), pp. 85-97.
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