Le dernier debout

Identification

Rallye: 20.I.02 ; catégories: 3, 4 ; domaine: OPN
Famille:

• ALG - Utiliser un algorithme

Remarque et suggestion

Résumé

Déterminer le dernier éléments dans un comptage « cyclique » avec élimination des numéros pairs dans un ensemble de 12 éléments (contexte: joueurs disposés en cercle).

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Imaginer les premiers nombres, les premiers joueurs éliminés et les joueurs qui restent debout et se rendre compte que c’est très facile jusqu’à 12, mais qu’il faudra examiner plus précisément ce qui se passe après 12. Il y a alors plusieurs possibilités :

- Jouer effectivement le jeu, si on trouve 12 personnages, ce qui n’empêche pas que, au moment de « montrer » ce qui a été fait pour trouver les réponses, il faudra en donner une trace écrite.

- Ou écrire une description chronologique du genre : 1 reste debout ; 2 est éliminé ; 3 reste debout, … ; 11 reste debout ; 12 est éliminé ; celui qui avait dit 1 (qui était resté debout) dit 13 ; celui qui avait dit 2 étant éliminé, c’est celui qui avait dit 3 qui dit 14 et qui est éliminé … Constater que ce type de description devient de plus en plus difficile à contrôler, tour après tour.

- Ou envisager de numéroter les 12 enfants puis de les prendre dans l’ordre d’élimination. Par exemple :

les six enfant 2, 4, 6, 8, 10 et 12 sont éliminés au premier tour, il en reste six qui continuent : 1, 3, 5, 7, 9 et 11.

Au deuxième tour : 1 dit 13 et reste, 3 dit 14 et est éliminé, 5 dit 15 et reste, 7 dit 16 et est éliminé, 9 dit 17 et reste, 11 dit 18 et est éliminé. Il reste trois enfants : 1, 5 et 9.

Au troisième tour : 1 dit 19 et reste, 5 dit 20 et est éliminé, 9 dit 21 et reste. Il reste deux enfants, 1 et 9.

Au quatrième tour : 1 dit 22 et est éliminé, 9 dit 23 reste seul. C’est lui le gagnant.

Ce raisonnement peut éventuellement être accompagné d’une représentation en tableau.

- Ou utiliser un schéma ou disposer les emplacements des joueurs (1, 2, 3, 4 … 12) en cercle, écrire à côté de ces emplacements les nombres qui correspondent, un à un, les biffer lorsqu’ils sont pairs pour aboutir à 23 sur l’emplacement du 9e joueur.

On peut aussi trouver 23 par un raisonnement sur la parité des nombres, car 23 est le 12e nombre impair, mais sans savoir quel est le joueur qui le prononce.

Notions mathématiques

numération, nombre pair, nombre impair, sélection

Résultats

20.I.02

Points attribués sur 902 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Les deux réponses correctes (le 9e joueur dit 23) avec explication claire.
• 3 points: Les deux réponses correctes (le 9e joueur dit 23) avec explications confuses
  ou une erreur due à un seul « décalage » dans l’inventaire, l’historique ou le schéma, avec explication claire et cohérence entre les deux réponses.
• 2 points: Les deux réponses correctes (le 9e joueur dit 23) sans explication (ou seulement « on a joué et on a trouvé »)
  ou réponse 23 seulement avec une explication sur la parité
  ou une erreur due à deux « décalages » seulement dans l’inventaire, l’historique ou le schéma, avec explication claire et cohérence entre les deux réponses
  ou raisonnement correct sur les trois premiers tours
  ou une des réponses « le 9e joueur dit 21 » ou «  le dernier nombre dit est 22 » en pensant que le dernier ne dit rien
  ou raisonnement qui va jusqu’à trois tours.
• 1 point: Début de raisonnement qui va jusqu’à deux tours.
• 0 point: Incompréhension du problème.

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Le problème est trop difficile en catégorie 3 (plus de la moitié « d’incompréhension du problème »).

Les notions ou concepts mathématiques sont élémentaires. C’est au niveau de la compréhension des règles du jeu que se situent les difficultés.

Une majorité de copies montrent que, après le premier tour, on recommence à compter 1, 2, 3, ...et les réponses sont du genre: le dernier a dit 11 ou le dernier a dit 1 ou le premier joueur a gagné, ...

Lorsque les élèves ont surmonté ce premier obstacle et continué à compter à partir de 13, ils doivent représenter les 12 enfants par leur numéro ou par une figure et biffer ceux qui ont été éliminés puis écrire le 13 sur le premier enfant, sauter le deuxième qui est éliminé, écrire 14 sur le troisième enfant et le biffer, etc. Il faut mener d front les deux tâches: le comptage sur les enfants non éliminés et l'élimination des enfants qui disent un nombre pair. L'erreur la plus fréquent est de s'arrêter au numéro 21, due à un mauvais contrôle en biffant le dernier enfant.

Les solutions correctes sont souvent organisées en un tableau de 12 colonnes dont l'entête représente les 12 enfants (figures ou numéros)

dont la première ligne est composée des 12 nombres de 1 à 12 avec les nombres pairs biffés,

dont la deuxième ligne est composée des nombres 13 à 18 (de deux en deux colonnes) avec les nombres pairs biffés,

dont la troisième ligne est composée de 19 (sous le 1 et 13), 20, (biffé, sous le 5 et 15) et 21 (sous le 9 et 17)

dont la quatrième ligne ne comporte que 22 (biffé, sous le 1, 13, et 19) et 23 (marqué, sous le 9, 17 et 21).

Ces solutions restent cependant minoritaires, même en catégorie 4.

Exploitations didactiques

Il est évident que, après les premiers essais, une mise en commun doit être organisée pour éviter que des groupes d'élèves ne recommencent pas la numérotation à partir de 1 après un tour complet.

Des variantes sont possibles en modifiant le nombre d'enfants; par exemple en l'adaptant au nombre d'élèves de la classe.

Pour faciliter la compréhension des règles du jeu, la situation peut être avantageusement "jouée" effectivement.

Bibliographie

Inspiré de La ronde (08.I.01). Voir aussi la variante Tous assis

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