Banca di problemi del RMT
op120-it
|
|
Banca di problemi del RMTop120-it |
|
Costruire una successione di numeri naturali che comincia da 4, di cui ciascun termine è la somma del termine precedente e del suo doppio (progressione geometrica di ragione 3), poi trovare la posizione del primo termine di quella successione superiore a 300.
Analisi a priori:
- Comprendere l’organizzazione di lettura del libro: il primo giorno (domenica) vengono lette 4 pagine, il secondo giorno vengono lette il doppio delle pagine (4 × 2 = 8). Per conoscere il numero di pagine lette ciascun giorno seguente, è necessario innanzitutto sommare il numero di pagine lette nei giorni precedenti (che è anche il numero dell’ultima pagina letta il giorno prima) e raddoppiare questo numero.
- Effettuare i calcoli, giorno per giorno, annotando precisamente le due operazioni: prendere il doppio del numero totale di pagine già lette, poi addizionargli le pagine già lette in tutti i giorni precedenti:
_ pagine lette numero totale delle pagine lette a fine giornata oppure ultima pagina dove si è fermato Domenica 4 4 Lunedì 2 × 4 = 8 8 + 4 = 12 Martedì 2 × 12 = 24 24 + 12 = 36 Mercoledì 2 × 36 = 72 72 + 36 = 108 Giovedì 2 × 108 = 216 216 + 108 = 324
- concludere che Marco leggerà la pagina 300 il giovedì.
numero, numero naturale, successione, progressione geometrica, ragione, ricorrenza, doppio, addizione, posizione
Punti attribuiti su 3105 classi di 21 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 4 | 330 (40%) | 335 (41%) | 110 (13%) | 20 (2%) | 32 (4%) | 827 | 0.9 |
| Cat 5 | 291 (34%) | 300 (36%) | 147 (17%) | 46 (5%) | 61 (7%) | 845 | 1.16 |
| Cat 6 | 414 (29%) | 555 (39%) | 251 (18%) | 82 (6%) | 131 (9%) | 1433 | 1.27 |
| Totale | 1035 (33%) | 1190 (38%) | 508 (16%) | 148 (5%) | 224 (7%) | 3105 | 1.14 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Observations sur les 184 (55 de cat 4, 69 de cat 5 et 60 de cat. 6) copies d’une section La grande majorité des explications se limitent à une correspondance entre les jours de lecture : dimanche, lundi, mardi, … et une suite de nombres commençant par 4 (pour le dimanche). Les nombres représentent les pages lues depuis le dimanche jusqu’au soir du jour de la semaine mais souvent ils représentent seulement les pages lues le jour même, lorsque les élèves ne distinguent pas les deux grandeurs en jeu : pages lues en tout (ou dernière page lue) et les pages lues durant le jour. En général, le nombre est précédé d’une opération : multiplication par 2 pour « le double » accompagnée ou non d’une addition. Lorsque les régularités sont perçues pour le passage d’un nombre au suivant, les opérations ne sont plus toujours répétées .
12 copies ou 6,5% donnent la suite correcte 4, 12, 36, 108, 324, …et la page 300 lue le jeudi, mais aucune ne perçoit la raison 3 de cette progression géométrique.
Les erreurs les plus fréquentes correspondent aux suites :
- Dans 69 copies (38%) la suite est 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, et la page 300 lue le dimanche, c’est-à-dire le doublement du nombre de pages lues la veille sans jamais additionner les pages déjà lues.
- Dans 40 copies (22%) la suite est 4, 8, 24, 72, 216, 648, et la page 300 lue le vendredi avec doublement du nombre de pages lues les jours précédents et avec l’addition du nombre de pages lues à la fin de la journée à l’exception du lundi : 8 au lieu de 12.
- Dans 13 copies (7%), la suite est 4, 8, 12, 24, 48, 96, 192, 384 et la page 300 lue le dimanche ; doublement du nombre de pages lues la veille depuis le mardi seulement
- Dans 10 copies (5%), la suite est 4, 8, 24, 48, 96, 192, 384, 512, et la page 300 lue le samedi ; doublement du nombre de pages lues la veille avec une exception du lundi au mardi (où les pages lues le lundi seulement sont additionnées à leur double pour déterminer celles du mardi). Dans toutes ces suites on ne relève que de très rares erreurs (ou distractions) pour déterminer le jour où la page 300 a été lue : un jour trop tôt.
- Dans 16 copies (9%) les suites comportent plus de deux erreurs, en général des alternances de multiplications par 2 ou par 3 pour passer d’un nombre au suivant. Les autres types d’erreurs sont dues à une incompréhension ou non appropriation du problème pour 23 copies, (13%), par exemple : division de 300 par 4 ; suites de multiples de 4, de 8 ou encore de 12 ; division de 300 par 7 (jours de la semaine), autres opérations du genre 25 x 12 = 300 ; 100 + 100 + 100 = 300 etc
L’obstacle fondamental qui empêche la très grande majorité des groupes d’élèves d’arriver à la suite correcte est dans la compréhension de la règle de passage décrite dans l’énoncé : chaque jour suivant, il lit le double du nombre total de pages déjà lues les jours précédents qui exige la distinction entre « pages lue chaque jour » et « total des pages lues les jours précédents » qui correspond à « la dernière page lue » le jour précédent. Il faut prendre en compte une donnée implicite, qu’on pense évidente mais qui ne l’est pas pour de nombreux élèves : lorsqu’on lit un livre en plusieurs étapes, après chaque pause on reprend la lecture à la page suivante de celle qu’on avait lue en dernier et le nombre de pages qu’on lit au cours de l’étape s’ajoute à celles déjà lues.
Un autre obstacle vient du passage de « un nombre auquel on ajoute son double » à « le triple de ce nombre » qu’on pourrait traduire en langage algébrique par n + 2n = 3n si l’on arrive à percevoir le nombre n, comme le nombre de pages déjà lues. Même chez les élèves qui ont trouvé la suite correcte, ce passage à la multiplication par 3 n’est pas encore perçu.
Au vu de la nature des obstacles, il ne paraît pas opportun de reprendre ce problème avec de jeunes élèves, mais plutôt avec des classes de catégories 6 à 8 pour bien mettre en évidence la loi de passage d’un nombre au suivant de la suite, qui est toujours la même (y compris pour le passage du premier au deuxième ou du deuxième au troisième) et qui peut se réduire à une seule opération : une multiplication par 3.
(c) ARMT, 2019-2024