Les trois fourmis

Identification

Rallye: 27.II.09 ; catégories: 5, 6, 7 ; domaine: OPN
Familles:

• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres
• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQ1 - Résoudre une équation du 1e degré

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver trois nombres naturels tels que le deuxième vaut 5 de moins que le double du premier, que le troisième et égal au deuxième et vaut 7 de plus que le premier.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Comprendre qu'Adeline a rapporté moins de grains que les autres fourmis, Clotilde en a 7 de plus et Bérénice la même quantité que Clotilde.

- Comprendre qu’il manque 5 grains à Bérénice pour avoir deux fois ceux d'Adeline et en même temps (puisqu'elle a le même nombre de grains que Clotilde) elle en a 7 de plus qu'Adeline.

- Puis déduire que 5 + 7 = 12 est exactement le nombre des grains qui, ajoutés à ceux d’Adeline, permettent d’atteindre son double. Conclure qu’Adeline a recueilli 12 grains, tandis que Bérénice et Clotilde ont recueilli 12 × 2 – 5 et 12 + 7 respectivement, soit 19 grains chacune.

Cette conclusion peut être obtenue avec une représentation graphique.

Ou bien:

Procéder à des tentatives systématiques en tenant compte du fait que les grains d'Adeline ne peuvent pas être inférieurs à 3. Par exemple, si les grains collectés par Adeline étaient au nombre de 7, Bérénice en aurait 9 (7 × 2 – 5), et Clotilde 14 (7 + 7), mais 9 ≠ 14 et donc 7 n'est pas le bon nombre. Procéder ainsi et constater que si Adeline ramène 12 grains, Bérénice en recueille 19 (12 × 2 – 5), et Clotilde aussi (12 + 7).

Ou bien:

Par une méthode algébrique ou pré-algébrique, noter A le nombre de grains apportés par Adeline. Bérénice en a 2A – 5 et Clotilde A + 7. Comparer les deux dernières expressions des nombres de grains de Bérénice et de Clotilde : 2A – 5 = A + 7 et en déduire, en résolvant l'équation par des méthodes algébriques ou par essais, que le nombre de grains d'Adeline est égal à 12. Par conséquent, les deux autres fourmis en ont 19.

Notions mathématiques

nombre naturel, double, différence, addition, multiplication, inconnue, égalité, comparaison

Résultats

27.II.09

Points attribués sur 3351 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (Adeline 12, Bérénice 19, Clotilde 19) avec une explication claire et complète de la procédure suivie (détail des relations trouvées, calculs ou tentatives possibles, résolution avec un graphique ou une procédure algébrique)
• 3 points: Réponse correcte avec une explication partielle ou imprécise
• 2 points: Réponse correcte sans explication
• 1 point: Début de recherche correct (par exemple, la seule représentation graphique correcte ou début de la symbolisation et de la formalisation des rapports)
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Selon une première analyse a posteriori de 193 copies de la section de Suisse romande:

RL. Procédures par raisonnement logique : 29 copies (15%)

Les quatre relations de l’énoncé sont regroupées A + 7 = C ; C = B ; 2A – 5 = B, mentalement ou parfois par des écritures qui s’approchent de A + 7 = C = B = 2A – 5 qui préfigurent la mise en équation ; mais dans chaque catégorie des classes reconnaissent, après avoir substitué B à C, la relation A + 7 = 2A – 5 ou A + 7 + 5 = 2A ce qui s’exprime par exemple par une explication du genre : Il manque 7 grains à Adeline et il manqu également 5 grains à Berenice et Clotilde pour avoir le double d’Adeline donc il faut faire 5 + 7 pour savoir combine de grains a Adeline. (cat 5)

Le plus souvent ces raisonnements se reconnaissent par la suite d’égalités : 5 + 7 = 12 ; 12 + 12 = 24 ; 24 – 5 = 19 et 12 + 7 = 19.

ES. Procédures par essais : 57 copies (30 %)

Les essais sont rarement systématiques, les groupes trouvent en général des procédures plus courtes par « sondage ». Si par exemple ils partent d’une hypothèse sur A, ils calculent les deux valeurs : le double et A + 7 et vérifient si le double vaut bien 5 de plus que A + 7. Sinon, ils augmentent ou diminuent selon les besoins. Certains remarquent parfois qu’on peut se limiter aux valeurs paires de A. Les nombres d’essais vont d’une dizaine si on part de 3, 4, 5 … à deux ou trois.

On trouve aussi des hypothèses sur B et C puis recherche d’un nombre inférieur de 7 et d’un nombre supérieur de 5 avec vérification que le dernier est le double du précédent. Certains trouvent le nombre au premier essai par chance (Classés sur la procédure suivante VR). D’autres disent qu’ils ont fait beaucoup d’essais ou qu’ils sont allés « par tâtonnements » jusqu’à trouver 12.

VR. Les explications se limitent à la vérification 60 copies (31 %)

Dans cette catégorie, les élèves se contentent d’écrire des réponses et la vérification. Par exemple:

• Adeline a 12 grains de blé. Clotilde en a 7 de plus = 19 grains de blé.
  Bérénice en a autant que Clotilde = 19 grains de blé. Le double d’Adeline = 12 x 2 = 24
  Bérénice a 19 grains de blé = 24 – 5 = 19.(Cat 6)

Toutes les copies de cette catégorie font apparaître une série de trois ou opération commençant soit par 12 + 7 = 19, soit par 12 + 12 = 24, soit par 19 + 5 = 24 mais ne présentent jamais la somme des deux données 5 + 7 = 12.

Ceux qui pensaient procéder par essais et tombent sur la solution au premier essai, le vérifient ensuite. Par exemple:

• Nous tirons au bol un numéro impair (19), nous supposons que c’était celle de Clotilde et Bérénice, nous enlevons 7 pour avoir le nombre d’Adeline et confirmer en ajoutant 5 à C/B et en divisant le tous.
  C/B = 19 ; A = 12 C/B + 5 = 24 : 2 = 12. .(Cat 6)

Le 19 apparaît aussi souvent que le 12.

4 copies (2%) donnent la réponse correcte sans explication.

ER. Erreurs ou procédures ébauchées mais non abouties 18 copies (9 %)

Il n’y a pas d’erreur systématique dans ces copies, les solutions ne respectent qu’une seule des contraintes : la différence de 7 ou de 5 ou le double

20 copies (10 %) sont des « feuilles blanches » ou sont considérées comme « incompréhension.

On ne trouve pas de procédures algébriques ni de supports graphiques (dessins. schémas) dans toutes les copies examinées.

Voir aussi problème Concours de pêche, (24.II.10)

(c) ARMT, 2019-2024