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Banca di problemi del RMTop151-it |
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Stabilire se $3$ possa essere la somma dei primi $n$ termini della serie $1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + \ldots 1/n$.
Analisi a priori:
- Capire che Arianna deve attaccare le sue strisce lungo la lunghezza della parete a partire dalla striscia più lunga e via a via in ordine decrescente.
- Comprendere il significato della frase di Beatrice: dovrai tagliare uno dei nastri.
- Capire che per stabilire quale delle due sorelle abbia ragione, è necessario passare alla scrittura in simboli della situazione: $1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + \ldots$ quindi controllare se si raggiunge $3$.
- Capire che è necessario calcolare la somma dei primi termini, a partire da $1 + 1/2$, per cominciare a controllare quale parte dei $3$ m è via via coperta: $1 + 1/2 = 3/2$; poi $3/2 + 1/3 = 11/6$ per controllare se si raggiunge il $3$.
- Rendersi conto che i denominatori comuni diventano sempre più grandi (m.c.m ($6$, $4$) $= 12$, m.c.m ($12$, $5$) $= 60$, $\ldots$, m.c.m ($60$, $7$) $= 420$, $\ldots$) ed eventualmente decidere di passare ai numeri decimali.
- Rendersi conto che le somme aumentano di valore lentamente e che quindi la ricerca potrebbe essere lunga e che sarà opportuno usare la calcolatrice.
- Proseguire con il calcolo delle somme successive: $11/6 + 1/4 = 1,83 \ldots + 0,25 = 2,083 \ldots$ e notare la presenza di numeri periodici (si potrebbe forse rendersi conto che se Arianna volesse fermarsi a $2$ esattamente, dovrebbe tagliare un pezzo del quarto nastro poiché la somma supera $2$ e chiedersi « che succederà per $3$? »).
- Proseguire il calcolo delle somme successive, controllato nelle approssimazioni e arrivare alla decima, vicina a $2,93$ (a seconda del tipo di calcolatrice foglio di calcolo) poi $2,93 + 1/11 = 3,019 \ldots$ che mostra che Beatrice ha ragione perché la somma supera $3$ (e la lunghezza supera $3$ m), il che significa che Arianna deve tagliare un pezzetto del suo ultimo nastro (l’undicesimo) se vuole fermarsi esattamente a $3$ m. (Eventualmente, la successione delle somme parziali è $1$; $1/2$; $11/6$; $25/12$; $137/60$; $49/20$; $363/140$; $761/280$; $7129/2520$; $7381/2520 < 3$; $83711/27720 > 3$ e mostra che $3$ si situa tra la decima e l’undicesima, cioè che bisognerà tagliare l’undicesima striscia).
Oppure
Disegnare una striscia in scala (ad esempio in cui $1$ dm corrisponde a $1$ m) e riportarvi le strisce (in cm) di $10,0$; $5,0$; $3,3$; $2,5$; $2,0$; $1,7$; $1,4$; $1,3$; $1,1$; $1,0$ per constatare con una precisione quasi al millimetro, che non si raggiungono i $30$ cm, ma si arriva a circa $29,3$ (tra $29,2$ e $29,5$) cm e che bisognerà aggiungere una parte dell’undicesima striscia.
Punti attribuiti su 895 classi di 21 sezioni:
Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
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Cat 8 | 118 (23%) | 82 (16%) | 89 (18%) | 96 (19%) | 119 (24%) | 504 | 2.03 |
Cat 9 | 17 (11%) | 12 (8%) | 20 (14%) | 31 (21%) | 68 (46%) | 148 | 2.82 |
Cat 10 | 9 (6%) | 14 (10%) | 21 (15%) | 20 (14%) | 79 (55%) | 143 | 3.02 |
Totale | 144 (18%) | 108 (14%) | 130 (16%) | 147 (18%) | 266 (33%) | 795 | 2.36 |
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. |
Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori:
(c) ARMT, 2021-2024