Banca di problemi del RMT
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Banca di problemi del RMTop164-it |
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Trovare un numero (di dolcetti) corrispondente a 3 “contenitori piccoli” sapendo che 18 dolcetti corrispondono a 1 “contenitore grande” e che, nell’ambito dei “contenitori”, il rapporto tra le dimensioni è: 2 “piccoli” equivalgono a 1 “grande”.
- Per appropriarsi del problema, è necessario mettere in relazione i dati: il numero dei dolcetti e il rapporto fra le dimensioni delle teglie ci sono 18 dolcetti nella teglia grande, la metà dei dolcetti della grande nella teglia piccola, tenendo presente al contempo che tutti i dolcetti hanno la stessa dimensione.
- Una volta stabilite relazioni e corrispondenze, si può passare ai calcoli: 9 dolcetti in una teglia piccola (dalla divisione 18 ÷ 2 = 9) e 27 dolcetti nelle tre teglie piccole (27 = 3 × 9); oppure da una rappresentazione grafica e conteggio.
Punti attribuiti su 1514 classi di 16 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 136 (20%) | 80 (12%) | 33 (5%) | 148 (22%) | 287 (42%) | 684 | 2.54 |
| Cat 4 | 88 (11%) | 58 (7%) | 37 (4%) | 160 (19%) | 487 (59%) | 830 | 3.08 |
| Totale | 224 (15%) | 138 (9%) | 70 (5%) | 308 (20%) | 774 (51%) | 1514 | 2.84 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
(Version provisoire)
Globalement la réponse correcte (27) est trouvée par les trois quarts des classes, avec une progression significative de la catégorie 3 à la catégorie 4 Sur plus de 600 copies examinées, de cinq sections (CA, SI, SR, PR, RZ) c’est la procédure induite par l’énoncé : la moitié de 18 pour une petite plaque, puis 27 pour les trois petite plaques, qui a été relevée dans les trois quarts des cas.
Dans les autres cas, les élèves ont partagé les 18 gâteaux de la grande plaque en trois petites plaques de 6 gâteaux puis n’ont pas poursuivi la recherche de la solution qui les aurait ramené aux 18 gâteaux de départ. (selon l’information des « trois petites plaques » de l’énoncé qui précède celle de « la moitié » pour une petite plaque.)
Ce sont les observations écritures numériques qui s’avèrent intéressants car elles semblent caractéristiques de deux conceptions de la répartition des gâteaux. Pour l’adulte qui situe le problème dans le champ conceptuel de la multiplication et applique la propriété multiplicative de la proportionnalité, « la moitié » des 18 gâteaux se détermine par une division par 2 puis le nombre total des gâteaux des trois plaques par une multiplication par 3 :
18 : 2 = 9, puis 3 x 9 = 27
Dans une partie importante des copies, près de la moitié en catégorie 3, on voit cependant apparaître des écritures du champ conceptuel de l’addition : 9 + 9 = 18 puis 18 + 9 = 27 ou 9 + 9 + 9 = 27.
On se rend compte alors que pour ces élèves, trouver « la moitié » des 18 gâteaux de la grande plaque semble ressentie comme une réunion de deux parts égales qui constituent le tout. En écrivant 9 + 9 = 18, ils résolvent l’égalité lacunaire … + … = 18, en sachant bien que le seul nombre qui convient pour compléter l’égalité correctement est 9.
Cette remarque est à mettre en relation avec les observations de problèmes de recettes comme Gabrielle la petite sorcière (29.I.12, cat 6 - 8) où la perception additive de la relation entre deux grandeurs proportionnelles reste très majoritaire en catégories 5 et 6 avant d’être substituée par la perception de rapport de proportionnalité.
On a observé de nombreux dessins qui, en catégorie 3 surtout, ont sensiblement facilité la tâche de résolution, surtout lorsque les 18 objets de la grande plaque sont bien alignés, comme ici :
mais aussi même avec une représentation « contestable » :
Le problème n’a pas de grand intérêt pour une exploitation didactique en vue de la construction du concept de proportionnalité, vu la simplicité des relations en jeu sur de très petits nombres naturels. S’ils ne commettent pas l’erreur de lecture (considérer que les 18 gâteaux sont ceux des trois petites plaques, au lieu de deux), élèves ne peuvent pas « se tromper »
C’est au niveau des écritures et des représentations mentales des opérations qu’il pourrait être exploité : au sujet des liens entre addition, addition répétée et multiplication et des propriétés de ces opérations.
(c) ARMT, 2022-2024