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Pyramides de briques (II)

Identification

Rallye: 21.I.12 ; catégories: 6, 7, 8, 9, 10 ; domaine: OPN
Familles:

Résumé

Compléter deux « pyramide » de quatre étages (4, 3, 2, 1 nombres par étage) dont 4 nombres sont donnés, en respectant la règle selon laquelle chaque nombre est la somme des deux nombres sur lesquels il est situé. La chaîne de déductions se construit en combinant deux égalités pour déterminer un nombre-clé de départ. les nombres sont naturels et inférieurs à 100.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Vérifier l’exemple pour comprendre le fonctionnement de la pyramide et constater que deux briques peuvent être complétées immédiatement : 10 (25 – 15) à la base de la première pyramide et 13 (20 – 7) de la seconde.

- Constater que les autres nombres ne s’obtiennent pas directement, que des essais ou hypothèses sont nécessaires, puis chercher les « pistes » les plus favorables. Il y a par exemple de nombreuses décompositions de 70 (sommet de la première pyramide) ou de 13 (deuxième rang à droite) en somme de deux termes (même si on ne pense qu’aux nombres entiers positifs), qui exigeraient de très nombreux essais pour compléter la pyramide entière.

- Remarquer alors qu’une « clé » de la première pyramide peut être le nombre de la deuxième ligne, situé entre 25 et 13. Le « triangle » avec 25 et 13 à la base et 70 au sommet (voir figure 1) se complète alors…

… soit par essais successifs sur le nombre-clé. (11 est trop petit, 20 est trop grand, …) pour aboutir à 16 ;
… soit par un raisonnement déductif (ou préalgébrique) du genre : le « nombre cherché » (entre 25 et 13) sera additionné à 25 dans la case de gauche de l’étage supérieur et à 13 dans la case de droite, et finalement, 70 sera obtenu par 25 + 13 + 2 fois « le nombre cherché» ; par conséquent ce nombre sera 16, la moitié de 70 - (25 + 13) = 32,
… soit par une procédure algébrique résumant la précédente et conduisant à l’équation : (25 + x) + (13 + x) = 70

- Le même raisonnement va aussi pour la deuxième pyramide, dans le « triangle » avec 15 et 7 à la base et 31 au sommet, (Voir figure 2) mais avec un « obstacle » supplémentaire, qui fait dire à Matteo qu’on ne peut pas la compléter : …

… par essais, on trouvera que le nombre est plus grand que 4 et plus petit que 5,
… par raisonnement préalgébrique, on trouvera que ce nombre est la moitié de 9, (Car pour obtenir 31 on effectue la somme de 15 et 7 = 22 à laquelle il faut encore ajouter 9. Par conséquent, le nombre qui doit être additionné à 15 comme à 22 doit être la moitié de 9).
… par l’algèbre, le nombre est la solution de (15 + x) + (7 + x) = 31, c’est-à-dire 4,5.

- Comprendre alors que Diego a vu que le « nombre entre 15 et 7 » n’est pas entier comme tous les autres nombres présents dans la pyramide incomplète mais que l’énoncé n’interdit pas d’utiliser des nombres non entiers pour compléter la pyramide.

- Il suffit alors de compléter les autres cases par additions et soustractions.

Figure 1 les deux « triangles » - clé des deux pyramides

Figure 2 les deux pyramides complétées

Il y a encore, évidemment, de nombreuses autres manières d’organiser les essais, mais tous doivent passer par les nombres-clés 16 et 4,5.

Notions mathématiques

arithmétique, algèbre, addition, soustraction, nombres naturels, somme, déductions, équation

Résultats

21.I.12

Points attribués, sur 2559 classes de 22 sections:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 6	138 (15%)	296 (33%)	266 (30%)	137 (15%)	62 (7%)	899	1.65
Cat 7	54 (7%)	176 (22%)	309 (38%)	190 (23%)	89 (11%)	818	2.1
Cat 8	24 (4%)	101 (17%)	241 (40%)	145 (24%)	97 (16%)	608	2.31
Cat 9	9 (4%)	35 (15%)	51 (22%)	74 (32%)	65 (28%)	234	2.65
Cat 10	9 (4%)	35 (15%)	51 (22%)	74 (32%)	65 (28%)	234	2.65
Total	234 (8%)	643 (23%)	918 (33%)	620 (22%)	378 (14%)	2793	2.09
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Les deux pyramides complétées, avec une explication du raisonnement (au moins une description de la démarche pour trouver les « nombres-clés »)
3 points: Les deux pyramides correctes mais explications incomplètes (seulement quelques opérations, sans description des essais ou du raisonnement)
2 points: Les deux pyramides correctes sans aucune explication
ou 1ere pyramide complétée avec explication et deuxième pyramide non complétée avec l’affirmation qu’il n’y a pas de nombres qui puissent compléter certaines briques
1 point: Une seule des deux pyramides correctes sans explications
ou seulement les briques 10 (25 – 15) à la base de la première pyramide et 13 (20 – 7) de la seconde
0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Réussite avec progression régulière et sensible de la cat 6 à la catégorie 9-10, avec 9% seulement « d’incompéhension du problème »

A observer :

les différentes manières de trouver le nombre-clé de chaque pyramide (équation formelle, essais, raisonnement réthorique,
analogies et différences avec la version « Pyramides de briques (I) »

Bibliographie

Voir aussi Pyramides (05.I.02), Pyramide de briques (I) (21.I.03)

Banque de problèmes du RMT